Question

Решите неравенство методом интервала 9x+1÷x-3< 0

Answer 1

task/25535612
-------------------
Решите неравенство (9x+1) /(x-3) < 0 методом интервала
--------------------
(9x+1) /(x-3) < 0 ⇔9(x+1/9) / (x-3) < 0 ⇔ (x+1/9) * (x-3) < 0 .
интервалы : ( - ∞  ; -1/9) , (-1/9 ; 3) , (3; +∞)
         +                          -                        +     
---------------- (-1/9) ///////////////////// (3) ----------------
x ∈ ( -1/9 ; 3).

Answer 2

Для решения данного неравенства методом интервалов, мы должны следовать нескольким шагам:

1. Найти значения x, при которых выражение 9x + 1 ÷ (x - 3) равно нулю или неопределено. Эти значения называются точками разрыва.

2. Разбить область определения на интервалы, используя точки разрыва и другие критические точки.

3. Определить знак выражения в каждом интервале.

4. Найти интервалы, в которых выражение меньше нуля.

Давайте приступим к решению неравенства:

1. Найдем точки разрыва, где выражение 9x + 1 ÷ (x - 3) равно нулю или неопределено:

9x + 1 ÷ (x - 3) = 0

Для этого уравнения мы можем перемножить обе стороны на (x - 3), чтобы избавиться от знаменателя:

9x(x - 3) + 1 = 0

Раскроем скобки:

9x^2 - 27x + 1 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта или формулы квадратного корня.

Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4 * 9 * 1 = 729 - 36 = 693

Так как дискриминант больше нуля, у нас есть два различных действительных корня. Они могут быть найдены с помощью формулы квадратного корня:

x = (-b ± √D) / 2a

x = (-(-27) ± √693) / (2 * 9)

x = (27 ± √693) / 18

Таким образом, точки разрыва равны (27 + √693) / 18 и (27 - √693) / 18.

2. Разобьем область определения на интервалы, используя точки разрыва и другие критические точки:

Область определения нашего выражения - это все значения x, кроме x = 3 (так как знаменатель не может быть равен нулю).

Интервалы разделены на следующие области:

-∞ до (27 - √693) / 18 (27 - √693) / 18 до 3 3 до (27 + √693) / 18 (27 + √693) / 18 до +∞

3. Определим знак выражения в каждом интервале:

Выберем точку в каждом интервале и подставим ее в выражение 9x + 1 ÷ (x - 3). Если результат положительный, то выражение положительное, если отрицательный - выражение отрицательное.

-∞ до (27 - √693) / 18: выберем x = 0 9(0) + 1 ÷ (0 - 3) = 1 ÷ (-3) = -1/3 Знак: отрицательный

(27 - √693) / 18 до 3: выберем x = 2 9(2) + 1 ÷ (2 - 3) = 18 + 1 ÷ (-1) = 18 - 1 = 17 Знак: положительный

3 до (27 + √693) / 18: выберем x = 4 9(4) + 1 ÷ (4 - 3) = 36 + 1 ÷ 1 = 37 Знак: положительный

(27 + √693) / 18 до +∞: выберем x = 10 9(10) + 1 ÷ (10 - 3) = 90 + 1 ÷ 7 = 90 + 1/7 = 90 + 1/7 Знак: положительный

4. Найдем интервалы, в которых выражение меньше нуля:

Интервалы, в которых выражение меньше нуля, это (-∞, (27 - √693) / 18) и (3, +∞).

Таким образом, решением неравенства 9x + 1 ÷ (x - 3) < 0 являются интервалы (-∞, (27 - √693) / 18) и (3, +∞).