Question

4 х 2-12 х +9=0 через теорему Виета плиз

Answer 1

$4x^2-12x+9=0 \\ \\ a=4;b=-12;c=9 \\ \\ x_1+x_2= \frac{-b}{a}=3 \\ x_1x_2= \frac{c}{a}= \frac{9}{4} \\ \Delta=144-16*9=144-144=0 \\ x_1=x_2= \frac{-b}{2a}= \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \\ x_1+x_2= \frac{3}{2}+ \frac{3}{2}=3 \\ x_1*x_2= (\frac{3}{2})^2= \frac{9}{4}$

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение \(4x^2 - 12x + 9 = 0\) с использованием теоремы Виета.

Уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 4\), \(b = -12\), и \(c = 9\).

Теорема Виета утверждает, что если уравнение квадратного полинома имеет корни \(x_1\) и \(x_2\), то сумма корней равна \(-\frac{b}{a}\), а произведение корней равно \(\frac{c}{a}\).

Итак, сумма корней \(x_1\) и \(x_2\) равна \(-\frac{b}{a}\), а произведение корней равно \(\frac{c}{a}\).

\[\begin{align*} \text{Сумма корней: } x_1 + x_2 &= -\frac{b}{a} \\ \text{Произведение корней: } x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a} \end{align*}\]

Подставим значения из уравнения:

\[\begin{align*} \text{Сумма корней: } x_1 + x_2 &= -\frac{(-12)}{4} = 3 \\ \text{Произведение корней: } x_1 \cdot x_2 &= \frac{9}{4} \end{align*}\]

Теперь мы знаем, что сумма корней равна 3, а произведение корней равно \(\frac{9}{4}\). Найдем сами корни, решив систему уравнений:

\[\begin{align*} \begin{cases} x_1 + x_2 &= 3 \\ x_1 \cdot x_2 &= \frac{9}{4} \end{cases} \end{align*}\]

Решение этой системы дает значения корней \(x_1\) и \(x_2\). Можно воспользоваться фактом, что квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c\) имеет корни \(x_1\) и \(x_2\) и может быть записано в виде \((x - x_1)(x - x_2) = 0\).

В данном случае:

\[(x - x_1)(x - x_2) = 4x^2 - 12x + 9\]

Раскрыв скобки, мы должны получить исходное уравнение. Таким образом, можем записать:

\[(x - x_1)(x - x_2) = 4x^2 - 12x + 9\]

Теперь решим это уравнение. После раскрытия скобок получим:

\[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 4x^2 - 12x + 9\]

Сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях \(x\), мы получаем:

\[\begin{align*} 1 &= 4 \quad \text{(коэффициент при } x^2\text{)} \\ -(x_1 + x_2) &= -12 \quad \text{(коэффициент при } x\text{)} \\ x_1x_2 &= 9 \quad \text{(свободный член)} \end{align*}\]

Отсюда легко выразить значения \(x_1\) и \(x_2\):

\[\begin{align*} x_1 + x_2 &= 3 \quad \text{(по теореме Виета)} \\ x_1 \cdot x_2 &= \frac{9}{4} \quad \text{(по теореме Виета)} \end{align*}\]

Таким образом, корни уравнения \(4x^2 - 12x + 9 = 0\) равны \(x_1 = \frac{3}{2}\) и \(x_2 = \frac{3}{2}\).