Question

Решите систему уравнений { x + y = 2, 2 x ^2 + xy + y^2= 8.

Answer 1

Вот решение 
...........................

Answer 2

Давайте решим данную систему уравнений:

1. \(x + y = 2\) 2. \(2 + x^2 + xy + y^2 = 8\)

Для начала решим первое уравнение относительно одной из переменных, чтобы подставить это значение во второе уравнение.

Из уравнения \(x + y = 2\) можно выразить, например, \(x\):

\[ x = 2 - y \]

Теперь подставим это значение \(x\) во второе уравнение:

\[ 2 + (2 - y)^2 + (2 - y)y + y^2 = 8 \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ 2 + (4 - 4y + y^2) + (2y - y^2) + y^2 = 8 \]

Сгруппируем по степеням \(y\):

\[ 2 + 4 - 4y + y^2 + 2y - y^2 + y^2 = 8 \]

Упростим:

\[ 6 - 2y + y^2 = 8 \]

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

\[ y^2 - 2y - 2 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с использованием квадратного корня:

\[ y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} \]

\[ y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} \]

\[ y = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} \]

\[ y = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} \]

Теперь найдем два значения \(y\):

1. \( y = 1 + \sqrt{3} \) 2. \( y = 1 - \sqrt{3} \)

Теперь подставим эти значения обратно в уравнение \(x = 2 - y\) для нахождения соответствующих значений \(x\):

1. Когда \( y = 1 + \sqrt{3} \):

\[ x = 2 - (1 + \sqrt{3}) = 1 - \sqrt{3} \]

2. Когда \( y = 1 - \sqrt{3} \):

\[ x = 2 - (1 - \sqrt{3}) = 1 + \sqrt{3} \]

Таким образом, система уравнений имеет два решения:

1. \( x = 1 - \sqrt{3}, \quad y = 1 + \sqrt{3} \) 2. \( x = 1 + \sqrt{3}, \quad y = 1 - \sqrt{3} \)