Question

Найдите наименьшее значение a , при котором сумма квадратов корней уравнения X^2+4ax+a^2 равна 2,24.

Answer 1

X1+x2=-4a, x1*x2=a^2
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1*x2=2,24
(-4a)^2-2*a^2=2,24
16a^2-2a^2=2,24
14a^2=2,24
a^2=2,24:14=0,116
a=-0,4и а=0,4

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение \(X^2 + 4ax + a^2\) и найдем корни этого уравнения. Корни квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) можно найти по формуле:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В данном случае у нас \(a = 1\), \(b = 4a\), и \(c = a^2\). Подставим эти значения в формулу:

\[x = \frac{-4a \pm \sqrt{(4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a^2}}{2 \cdot 1}\]

Упростим выражение:

\[x = \frac{-4a \pm \sqrt{16a^2 - 4a^2}}{2}\]

\[x = \frac{-4a \pm \sqrt{12a^2}}{2}\]

\[x = \frac{-4a \pm 2\sqrt{3}a}{2}\]

\[x = -2a \pm \sqrt{3}a\]

Таким образом, корни уравнения \(X^2 + 4ax + a^2\) равны \(-2a + \sqrt{3}a\) и \(-2a - \sqrt{3}a\).

Теперь мы можем записать уравнение для суммы квадратов корней:

\[( -2a + \sqrt{3}a)^2 + (-2a - \sqrt{3}a)^2 = 2.24\]

Раскроем скобки и упростим:

\[4a^2 - 4a\sqrt{3}a + 3a^2 + 4a^2 + 4a\sqrt{3}a + 3a^2 = 2.24\]

\[12a^2 = 2.24\]

\[a^2 = \frac{2.24}{12}\]

\[a^2 = 0.1866667\]

\[a \approx \sqrt{0.1866667}\]

\[a \approx 0.431662\]

Таким образом, наименьшее значение \(a\), при котором сумма квадратов корней уравнения \(X^2 + 4ax + a^2\) равна 2.24, приблизительно равно 0.431662.