Question

ABCD - параллелограмм. Докажите равенство векторов AB и DC

Answer 1

.Рассмотрим треуголиники ABC и ADC   Д.п. АС - диагональ, угл ВАС = угл ACD(нлу при AB парал.DC, АС - секущая. 2. угл DAC = угл ACB( нлу при DA парал. BC, АС - секущая) из это следует треугольник ABC = AВC ( по стороне и двум прилежащим углам) AB=CD, AD=BC

Answer 2

Доказательство: 1.Рассмотрим треуголиники ABC и ADC   Д.п. АС - диагональ, угл ВАС = угл ACD(нлу при AB парал.DC, АС - секущая. 2. угл DAC = угл ACB( нлу при DA парал. BC, АС - секущая) из это следует треугольник ABC = AВC ( по стороне и двум прилежащим углам) из это следует AB=CD, AD=BC

Answer 3

Для доказательства равенства векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{DC} \) в параллелограмме \( ABCD \), мы можем использовать свойства параллелограмма.

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны. Также в параллелограмме противоположные углы равны.

Давайте обозначим векторы:

- \( \vec{AB} \) - вектор, соединяющий точки A и B, - \( \vec{BC} \) - вектор, соединяющий точки B и C, - \( \vec{CD} \) - вектор, соединяющий точки C и D, - \( \vec{DA} \) - вектор, соединяющий точки D и A.

Так как ABCD - параллелограмм, то:

1. \( \vec{AB} = \vec{CD} \) (противоположные стороны параллельны и равны). 2. \( \vec{BC} = -\vec{DA} \) (противоположные стороны параллельны и равны).

Теперь давайте сложим эти векторы:

\[ \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA} \]

Заметим, что векторы \( \vec{BC} \) и \( \vec{DA} \) имеют противоположные направления, и их сумма равна нулевому вектору:

\[ \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{AB} + (-\vec{DA}) + \vec{CD} + \vec{DA} \]

\[ = \vec{AB} + \vec{CD} \]

Таким образом, мы видим, что сумма всех четырех векторов равна сумме векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \), а согласно свойству параллелограмма \( \vec{AB} = \vec{CD} \). Поэтому:

\[ \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{AB} + \vec{CD} \]

Сокращаем обе стороны на \( \vec{AB} \):

\[ \vec{BC} + \vec{DA} = \vec{CD} \]

Таким образом, мы доказали, что векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{DC} \) равны в параллелограмме \( ABCD \).