Question

Как найти промежутки убывания функции?

Answer 1

Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция возрастает. Если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции - убывает.

Answer 2

Там, где производная y' >0, то есть выше оси ОХ, функция возрастает, там, где y'<0, функция убывает,

Answer 3

Чтобы найти промежутки убывания функции, нужно рассмотреть производную функции. Производная функции показывает, как меняется значение функции при изменении её аргумента (независимой переменной). Промежутки убывания функции соответствуют тем интервалам аргумента, на которых производная отрицательна.

Вот пошаговый алгоритм для нахождения промежутков убывания функции:

1. Найдите производную функции: Обозначается как \( f'(x) \) или \( \frac{df}{dx} \). Это можно сделать, используя правила дифференцирования для различных типов функций.

2. Решите уравнение \( f'(x) = 0 \): Найдите значения \( x \), при которых производная равна нулю. Эти точки могут быть экстремумами (минимумами или максимумами) функции.

3. Постройте таблицу знаков производной: Выберите точки между значениями, найденными в предыдущем пункте, и используйте их в производной. Определите знак производной в каждом интервале. Это позволит вам определить, где производная положительна, отрицательна или равна нулю.

4. Определите промежутки убывания: Промежутки, где производная отрицательна, соответствуют участкам, на которых функция убывает.

Пример:

Рассмотрим функцию \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \).

1. Найдем производную: \( f'(x) = 2x - 4 \). 2. Решим уравнение \( 2x - 4 = 0 \). Получим \( x = 2 \). 3. Построим таблицу знаков: - В интервале \((-\infty, 2)\) выбираем \( x = 0 \), подставляем в \( f'(x) \) и получаем знак "+", что означает, что производная положительна. - В интервале \((2, +\infty)\) выбираем \( x = 3 \), подставляем в \( f'(x) \) и получаем знак "-", что означает, что производная отрицательна. 4. Таким образом, функция убывает на интервале \( (2, +\infty) \).

Этот метод позволяет определить промежутки убывания функции на основе её производной.