Question

Решите уравнение: sin^2x+2√3 sinx+3cos^2x=0

Answer 1

$sin^2 x+2\sqrt{3}sin x+3cos^2 x=0$
используем тождество $sin^2 a+cos^2 a=1$
$sin^2 x+2\sqrt{3}sin x+3(1-sin^2 x)=0$
$sin^2 x+2\sqrt{3}sin x+3-3sin^2 x=0$
$-2sin^2 x+2\sqrt{3}sin x+3=0$
$2sin^2 x-2\sqrt{3}sin x-3=0$
делаем замену
$sin x=t, -1 \leq t \leq 1$
получаем квадратное уравнение:
$2t^2-2\sqrt{3}t-3=0$
$D=(2\sqrt{3})^2-4*2*(-3)=12+24=36=6^2$
$t_1=\frac{2\sqrt{3}+6}{2*2}=\frac{\sqrt{3}+3}{2}>1$ - не подходит
$t_2=\frac{2\sqrt{3}-6}{2*2}=\frac{\sqrt{3}-3}{2}$
возвращаемся к замене
$sin x=\frac{\sqrt{3}-3}{2}$
$x=(-1)^k*arcsin \frac{\sqrt{3}-3}{2}+\pi*k$
$x=(-1)^{k+1}*arcsin \frac{3-\sqrt{3}}{2}+\pi*k$, k є Z

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом. У вас есть уравнение:

\[ \sin^2(x) + 2\sqrt{3}\sin(x) + 3\cos^2(x) = 0 \]

Обратите внимание, что у вас есть и синус, и косинус в этом уравнении. Начнем с того, чтобы выразить одну из функций через другую, используя тригонометрическую тождества.

Используем тождество \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\):

\[ 1 + \sin^2(x) = 3\cos^2(x) \]

Теперь выразим \(\sin(x)\) через \(\cos(x)\):

\[ \sin^2(x) = 3\cos^2(x) - 1 \]

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

\[ (3\cos^2(x) - 1) + 2\sqrt{3}\sin(x) + 3\cos^2(x) = 0 \]

Объединим члены с \(\cos^2(x)\):

\[ 6\cos^2(x) + 2\sqrt{3}\sin(x) - 1 = 0 \]

Теперь используем тот факт, что \(\sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)}\). Подставим это обратно в уравнение:

\[ 6\cos^2(x) + 2\sqrt{3}\sqrt{1 - \cos^2(x)} - 1 = 0 \]

Теперь квадратное уравнение относительно \(\cos^2(x)\):

\[ 6\cos^2(x) + 2\sqrt{3}\sqrt{1 - \cos^2(x)} - 1 = 0 \]

Теперь решим это уравнение. Пусть \(u = \cos^2(x)\):

\[ 6u + 2\sqrt{3}\sqrt{1 - u} - 1 = 0 \]

\[ 6u + 2\sqrt{3}\sqrt{1 - u} = 1 \]

\[ 6u = 1 - 2\sqrt{3}\sqrt{1 - u} \]

\[ 6u + 2\sqrt{3}\sqrt{1 - u} - 1 = 0 \]

Теперь решим это уравнение относительно \(u\), а затем найдем \(\cos^2(x)\). После того, как мы найдем \(\cos^2(x)\), мы сможем найти \(\cos(x)\) и, следовательно, \(\sin(x)\). Однако, этот процесс может быть сложным для решения вручную. Часто используются численные методы или программное обеспечение для решения подобных уравнений.