Question

Помогите решить систему неравенств 2x^2-7x+5<=0 2-x>0

Answer 1

2х²-7х+5≤0
2-х>0. => х>2
…
2х²-7х+5=0
Д=49-4*2*5 = √9 =3
х1= 7-3/4 = 1
х2= 7+3/4 = 2.5

Answer 2

Давайте рассмотрим систему неравенств по отдельности:

1. \(2x^2 - 7x + 5 \leq 0\) 2. \(2 - x > 0\)

1. \(2x^2 - 7x + 5 \leq 0\)

Чтобы решить неравенство квадратного трехчлена, можно воспользоваться графиком или квадратным трехчленом. Давайте найдем корни квадратного трехчлена \(2x^2 - 7x + 5\).

Сначала найдем дискриминант \(\Delta = b^2 - 4ac\), где у нас \(a = 2\), \(b = -7\), и \(c = 5\):

\(\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9\)

Так как дискриминант положителен (\(\Delta > 0\)), у уравнения два различных действительных корня.

Формула для корней квадратного уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)

\(x = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{4}\)

\(x = \frac{7 \pm 3}{4}\)

Это дает нам два корня: \(x_1 = \frac{10}{4} = 2.5\) и \(x_2 = \frac{4}{4} = 1\).

Теперь, чтобы определить интервалы, на которых \(2x^2 - 7x + 5 \leq 0\), мы можем использовать тестовые точки в каждом из трех интервалов: \((-\infty, 1)\), \((1, 2.5)\), \((2.5, +\infty)\).

Давайте возьмем \(x = 0\), \(x = 1.5\) и \(x = 3\) для проверки.

1. При \(x = 0\): \(2(0)^2 - 7(0) + 5 = 5 > 0\), это значит, что на интервале \((-\infty, 1)\) у нас нет решений.

2. При \(x = 1.5\): \(2(1.5)^2 - 7(1.5) + 5 = 2.25 - 10.5 + 5 = -3.25 < 0\), значит, что на интервале \((1, 2.5)\) выполняется условие.

3. При \(x = 3\): \(2(3)^2 - 7(3) + 5 = 18 - 21 + 5 = 2 > 0\), это значит, что на интервале \((2.5, +\infty)\) у нас нет решений.

Таким образом, решение неравенства \(2x^2 - 7x + 5 \leq 0\) это \(1 \leq x \leq 2.5\).

2. \(2 - x > 0\)

Это неравенство достаточно просто решить:

\(2 - x > 0\)

Переносим \(-x\) на другую сторону:

\(2 > x\)

Таким образом, получаем \(x < 2\).

Объединение решений

Теперь объединим решения обоих неравенств.

Из первого неравенства мы имеем: \(1 \leq x \leq 2.5\).

Из второго неравенства: \(x < 2\).

Объединяя оба решения, получаем: \(1 \leq x < 2\).

Таким образом, система неравенств \(2x^2 - 7x + 5 \leq 0\) и \(2 - x > 0\) имеет решение \(1 \leq x < 2\).