Question

Составьте уравнение касательной к графику функции y=-x^4/27+x^2/3-2x+5 в точке с абсциссой x=3

Answer 1

Запишем уравнения касательной в общем виде:
 $f(x)=y'(x_0)(x-x_0)+y(x_0)$

По условию задачи x0 = 3, тогда y0 = -1

Теперь найдем производную:
y' = (-x4/27+x2/3-2x+5)' = -2+2/3x-4/27x3
следовательно:

y'(3) = -2+2/3 3-4/27 33 = -4
В результате имеем:
f(x) = y0 + y'(x0)(x - x0)
f(x) = -1 -4(x - 3)
или
f(x) = 11-4x

Ответ: 11-4х

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке, мы воспользуемся формулой уравнения касательной.

Пусть уравнение функции задано как \(y = -\frac{x^4}{27} + \frac{x^2}{3} - 2x + 5\). Тогда производная функции \(y\) по \(x\) даст нам угловой коэффициент касательной в любой точке:

\[y' = -\frac{4x^3}{27} + \frac{2x}{3} - 2.\]

Теперь мы можем подставить \(x = 3\) в \(y'\), чтобы получить угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой \(x = 3\):

\[m = y'(3) = -\frac{4(3)^3}{27} + \frac{2(3)}{3} - 2.\]

Теперь найдем значение функции в точке \(x = 3\), подставив \(x = 3\) в исходное уравнение:

\[y(3) = -\frac{(3)^4}{27} + \frac{(3)^2}{3} - 2 \cdot 3 + 5.\]

Теперь, используя найденные значения \(m\) и \(y(3)\), мы можем записать уравнение касательной в форме \(y - y_1 = m(x - x_1)\), где \((x_1, y_1)\) - координаты точки касания:

\[y - y(3) = m(x - 3).\]

Подставим значения и упростим:

\[y + \frac{77}{9} = -\frac{4}{3}(x - 3).\]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции \(y = -\frac{x^4}{27} + \frac{x^2}{3} - 2x + 5\) в точке с абсциссой \(x = 3\) будет:

\[y + \frac{77}{9} = -\frac{4}{3}(x - 3).\]