Question

Решить уравнение: 32^((x+5)/(x-4))=0.25*128^((x+12)/(x-3))

Answer 1

2^5((x+5)/(x-4))=2^7((x+12)/(x-3))-2
5(x+5)/(x-4)=7(x+12)/(x-3)-2
5(x+5)/(x-4)-(7(x+12)-2(x-3))/(x-3)=0|(x-4)(x-3)
5(x+5)(x-3)-(7(x+12)-2(x-3))(x-4)=0
5(x^2+2x-15)-(7x+84-2x+6)(x-4)=0
5x^2+10x-75-(5*x^2+70*x-360)=0
285-60*x=0
x=19/4

Answer 2

Для решения данного уравнения давайте разберемся с каждой частью по отдельности.

Уравнение:

\[32^{(x+5)/(x-4)} = 0.25 \cdot 128^{(x+12)/(x-3)}\]

Для начала, заметим, что обе стороны уравнения содержат степени с основанием 2. Также, можно заметить, что \(128 = 2^7\). Воспользуемся этими свойствами:

\[2^5 \cdot 2^{(x+5)/(x-4)} = 0.25 \cdot (2^7)^{(x+12)/(x-3)}\]

Теперь упростим обе стороны уравнения:

\[2^{(x+5)/(x-4) + 5} = 0.25 \cdot 2^{7 \cdot (x+12)/(x-3)}\]

\[2^{(x+5)/(x-4) + 5} = 2^{2 \cdot (x+12)/(x-3)}\]

Так как основание у обеих сторон одинаковое (2), мы можем приравнять показатели степеней:

\[\frac{x+5}{x-4} + 5 = \frac{2 \cdot (x+12)}{x-3}\]

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить. Давайте приведем его к общему знаменателю и решим:

\[(x+5)(x-3) + 5(x-4)(x-3) = 2(x+12)(x-4)\]

Раскроем скобки и упростим:

\[x^2 - 3x + 5x - 15 + 5x - 20 = 2(x^2 - 4x + 12x - 48)\]

\[x^2 + 7x - 35 = 2x^2 + 16x - 96\]

Теперь приведем все к одному виду:

\[0 = x^2 + 9x - 61\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Используем формулу для корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В данном случае, у нас есть \(a = 1\), \(b = 9\), и \(c = -61\). Подставим значения:

\[x = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-61)}}{2 \cdot 1}\]

\[x = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 244}}{2}\]

\[x = \frac{-9 \pm \sqrt{325}}{2}\]

Таким образом, у нас есть два решения:

\[x_1 = \frac{-9 + \sqrt{325}}{2}\]

\[x_2 = \frac{-9 - \sqrt{325}}{2}\]

Это окончательные ответы для уравнения. Если нужно, можно уточнить их численные значения, используя калькулятор.