Question

ПРОВЕСТИ ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ(РАСПИСАНОЕ)Y=4*X/(4+X^2)

Answer 1

Решение смотри во вложении

Answer 2

Для проведения полного исследования функции y = 4x / (4 + x^2), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции: Функция определена для всех значений x, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. То есть, x^2 + 4 = 0. Но такое уравнение не имеет действительных корней, поэтому область определения функции - все действительные числа.

2. Найти точки пересечения с осями координат: Для этого приравниваем y к нулю и решаем уравнение: 4x / (4 + x^2) = 0. Получаем, что x = 0. То есть, функция пересекает ось абсцисс в точке (0, 0).

3. Найти асимптоты функции: В данном случае, функция имеет вертикальную асимптоту, так как знаменатель функции (4 + x^2) стремится к бесконечности при приближении x к бесконечности. Таким образом, вертикальная асимптота будет x = -2 и x = 2.

4. Исследовать поведение функции при x, стремящемся к бесконечности и минус бесконечности: При x, стремящемся к бесконечности, функция стремится к нулю, так как числитель остается константой (4), а знаменатель растет быстрее приближаясь к бесконечности. При x, стремящемся к минус бесконечности, функция также стремится к нулю, так как числитель остается константой (4), а знаменатель растет быстрее приближаясь к минус бесконечности.

5. Найти производную функции: Для этого применим правило дифференцирования частного функций. y' = (4 * (4 + x^2) - 4x * 2x) / (4 + x^2)^2 = (16 + 4x^2 - 8x^2) / (4 + x^2)^2 = (16 - 4x^2) / (4 + x^2)^2

6. Найти точки экстремума функции: Для этого приравниваем производную к нулю и решаем уравнение: (16 - 4x^2) / (4 + x^2)^2 = 0. Получаем, что 16 - 4x^2 = 0, откуда x^2 = 4, и x = ±2. Таким образом, функция имеет точки экстремума в точках (-2, -1) и (2, 1).

7. Исследовать функцию на выпуклость и вогнутость: Для этого найдем вторую производную функции. y'' = (32x) / (4 + x^2)^3

Подставим точки экстремума во вторую производную: y''(-2) = (32 * -2) / (4 + (-2)^2)^3 = -16 / 64 = -1/4 y''(2) = (32 * 2) / (4 + 2^2)^3 = 16 / 64 = 1/4

Так как вторая производная меняет знак при переходе через точку экстремума, то функция имеет точку минимума в точке (-2, -1) и точку максимума в точке (2, 1).

Таким образом, проведя полное исследование функции y = 4x / (4 + x^2), мы определили ее область определения, точки пересечения с осями координат, асимптоты, поведение при x, стремящемся к бесконечности и минус бесконечности, производные, точки экстремума, а также выпуклость и вогнутость.