Question

Помогите неравенство (1/2)^x^2+2>(1/2)^3x

Answer 1

(1/2)^(x^2+2)>(1/2)^(3x)
1/2 <1  ⇒ меняем знак

x²+2<3x
x²-3x+2<0
D=1
x₁=2
x₂=1
ответ x∈(1;2)

Answer 2

Давайте рассмотрим данное неравенство и попробуем найти его решение.

Неравенство: \((\frac{1}{2})^{x^2} + 2 > (\frac{1}{2})^{3x}\)

Для начала, давайте приведем обе стороны неравенства к общему знаменателю. Мы знаем, что \((\frac{1}{2})^a = \frac{1}{2^a}\), поэтому мы можем записать неравенство следующим образом:

\(\frac{1}{2^{x^2}} + 2 > \frac{1}{2^{3x}}\)

Теперь давайте избавимся от дробей, умножив обе стороны неравенства на знаменатель:

\(2^{x^2} + 2 \cdot 2^{x^2} > 2^{3x}\)

Теперь объединим подобные члены:

\(2^{x^2} + 2 \cdot 2^{x^2} > 2^{3x}\)

\(3 \cdot 2^{x^2} > 2^{3x}\)

Теперь мы видим, что у нас есть степени с одинаковым основанием. Мы можем использовать свойства степеней для упрощения:

\(2^{x^2} \cdot 3 > 2^{3x}\)

Теперь давайте поделим обе стороны на \(2^{3x}\) (учитывая, что \(2^{3x} \neq 0\)):

\[3 > 2^{x^2 - 3x}\]

Теперь давайте рассмотрим возможные случаи:

1. Если \(x^2 - 3x > 0\), то неравенство останется справедливым при делении обеих сторон на положительное число.

2. Если \(x^2 - 3x < 0\), то мы должны поменять знак неравенства при делении обеих сторон на отрицательное число.

Давайте решим уравнение \(x^2 - 3x = 0\), чтобы найти точки разрыва:

\[x(x - 3) = 0\]

Отсюда получаем два корня: \(x = 0\) и \(x = 3\).

Теперь разберем два случая:

1. \(x < 0\): Если \(x < 0\), то оба множителя \(x\) и \((x - 3)\) отрицательны, и произведение положительно. Таким образом, неравенство \(x^2 - 3x > 0\) выполнено, и знак неравенства остается положительным.

2. \(0 < x < 3\): Если \(0 < x < 3\), то первый множитель \(x\) положителен, а второй \((x - 3)\) отрицателен. Произведение отрицательно. Таким образом, неравенство \(x^2 - 3x > 0\) не выполнено, и знак неравенства меняется при делении на отрицательное число.

3. \(x > 3\): Если \(x > 3\), то оба множителя положительны, и произведение снова положительно. Таким образом, неравенство \(x^2 - 3x > 0\) выполнено, и знак неравенства остается положительным.

Итак, неравенство \(\frac{1}{2^{x^2}} + 2 > \frac{1}{2^{3x}}\) выполняется для \(x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)\).