Question

Сумма трех целых чисел делится на 6 доказать что и сумма кубов этих чисел делится на 6

Answer 1

$\frac{x+y+z}{6}=A\\ \frac{x^3+y^3+z^3}{6}=B\\ (x+y+z)^3=(6A)^3\\ x^3+y^3+z^3+3(y+x)(z+x)(z+y)=(6A)^3$
сделаем замену , так как сказано что $x^3+y^3+z^3$ уже делиться на 6 , то достаточно доказать что выражение $3(y+x)(z+x)(z+y)$ тоже делится на 6 
$x+y+z=6A\\ x+y=6A-z\\ z+x=6A-y\\ z+y=6A-x\\ 3(6A-z)(6A-y)(6A-x)=36A^2z+6Axz+6Ayz-xyz+6Axy-36A^2y-36A^2x+216A^3$
везде присутствует множитель 6 , но xyz делитья на 6 , так как произведение делиться на 6 

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, нам необходимо воспользоваться свойствами делимости на 6.

Утверждение: Если сумма трех целых чисел делится на 6, то и сумма кубов этих чисел также делится на 6.

Доказательство:

Пусть у нас есть три целых числа a, b и c, и их сумма a + b + c делится на 6.

Используем свойство делимости на 6: - Число делится на 6, если оно делится и на 2, и на 3.

1. Делимость на 2: Если число делится на 6, то оно делится и на 2. То есть, сумма a + b + c также делится на 2.

2. Делимость на 3: Если число делится на 6, то оно делится и на 3. То есть, сумма a + b + c также делится на 3.

Теперь рассмотрим сумму кубов этих чисел: a^3 + b^3 + c^3.

Мы знаем, что a + b + c делится на 6, поэтому можем записать: a + b + c = 6k, где k - целое число.

Возводим это равенство в куб: (a + b + c)^3 = (6k)^3 a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 3a^2c + 3ac^2 + 3b^2c + 3bc^2 + 6abc = 216k^3

Заметим, что все слагаемые, кроме a^3 + b^3 + c^3, делятся на 6. Поэтому, чтобы доказать, что a^3 + b^3 + c^3 также делится на 6, достаточно показать, что остаток от деления 216k^3 на 6 равен 0.

216k^3 = 6 * (36k^3)

Таким образом, a^3 + b^3 + c^3 также делится на 6, что и требовалось доказать.

Итак, мы показали, что если сумма трех целых чисел делится на 6, то и сумма кубов этих чисел также делится на 6.