Question

Решите уравнение : а)ctgx+корень из 3=0 б)2cos3x=корень из 3 в)2sin(x/2-пи/6)=-1

Answer 1

$1) ctgx+ \sqrt{3} =0 \\ \\ ctgx= - \sqrt{3} \\ \\ x= \frac{5 \pi }{6} \\ \\ 2)2cos3x= \sqrt{3} \\ \\ cos3x= \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \\ 3x= \frac{ \pi }{6} \\ \\ x= \frac{ \pi }{18} \\ \\ 3)2sin( \frac{x}{2} - \frac{ \pi }{6} )=-1 \\ \\ sin( \frac{x}{2} - \frac{ \pi}{6} )=- \frac{1}{2} \\ \\ \frac{x}{2}- \frac{ \pi}{6} = \frac{7 \pi }{6} \\ \\ \frac{x}{2}= \frac{4 \pi }{3} \\ \\ x= \frac{8 \pi }{3}$

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по порядку:

а) \( \cot(x) + \sqrt{3} = 0 \)

Для начала, давайте перепишем уравнение, чтобы избавиться от ctg:

\[ \cot(x) + \sqrt{3} = 0 \]

\[ \cot(x) = -\sqrt{3} \]

\[ \tan(x) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \]

Теперь найдем все решения для \( x \). Так как \(\tan(x)\) отрицателен, это происходит в третьем и четвертом квадрантах, где \(\tan(x) = -\tan(\pi + x)\).

\[ x = \pi - \frac{\pi}{6} + n\pi, \, n \in \mathbb{Z} \]

б) \(2\cos(3x) = \sqrt{3}\)

Разделим обе стороны на 2:

\[ \cos(3x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Так как \(\cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), у нас есть:

\[ 3x = \pi/6 + 2\pi n \]

\[ x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}, \, n \in \mathbb{Z} \]

в) \(2\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\) = -1\)

Разделим обе стороны на 2:

\[ \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} \]

Сначала найдем решение для аргумента в интервале \([0, 2\pi)\):

\[ \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \]

\[ \frac{x}{2} = 2\pi n \]

\[ x = 4\pi n, \, n \in \mathbb{Z} \]

Теперь учтем все решения, включая те, что выходят за пределы интервала \([0, 2\pi)\):

\[ x = 4\pi n, \, n \in \mathbb{Z} \]

Итак, решения уравнений:

а) \( x = \pi - \frac{\pi}{6} + n\pi, \, n \in \mathbb{Z} \)

б) \( x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}, \, n \in \mathbb{Z} \)

в) \( x = 4\pi n, \, n \in \mathbb{Z} \)