Question

Дана функция f(x)=x^3+6x^2-15x+a. найдите значение параметра а, при котором наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-2;2] равно 8.

Answer 1

F(x)=x^3+6x^2-15x+a
f([-2;2])max=8
f'(x)=3x^2+12x-15
3x^2+12x-15=0
x=-5, x=1
x=-5 по любому зайдет за рамки отрезка.
Так что делаем акцент на x=1
1+6-15+a=8
a=16
Стоит заметить что функция f(x) уменьшается от x=-5 до x=1 а далее начинает расти. Так что наш ответ единственный.

Answer 2

Нахождение значения параметра a для заданной функции

Для нахождения значения параметра a, при котором наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-2; 2] равно 8, мы можем воспользоваться методом нахождения экстремумов функции.

Нахождение экстремума функции

1. Нахождение производной функции f(x) Начнем с нахождения производной функции f(x), чтобы найти точки экстремума: f'(x) = 3x^2 + 12x - 15

2. Нахождение критических точек Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение: 3x^2 + 12x - 15 = 0

Решим это уравнение сначала, чтобы найти критические точки.

3. Нахождение значений параметра a После нахождения критических точек, мы подставим их в исходную функцию f(x) и найдем значения параметра a, при которых минимальное значение функции f(x) на отрезке [-2; 2] равно 8.

Решение уравнения для нахождения критических точек

Для нахождения критических точек, решим уравнение:

3x^2 + 12x - 15 = 0

Для этого воспользуемся квадратным уравнением:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 3, b = 12, c = -15

Решение уравнения

1. Вычислим дискриминант D: D = b^2 - 4ac D = 12^2 - 4*3*(-15) D = 144 + 180 D = 324

2. Найдем корни уравнения: x1 = (-12 + √324) / 6 x2 = (-12 - √324) / 6

Теперь, когда мы нашли критические точки, мы можем продолжить, подставив их в исходную функцию для нахождения значения параметра a.