Question

Найти первообразную, график которой проходит через т.А 1) f(x) = sin 2x ; A(П/4; - 2) 2) f(x) = 4x - 6x² + 1; A(0; 2)

Answer 1

1) F(x) = -cos2x/2 + C

-2 = 0 + C => C = -2
F(x) = -cos2x/2 - 2

2) F(x) = 2x² - 2x³ + x + C

2 = 0 + C => C = 2
F(x) = 2x² - 2x³ + x + 2

Answer 2

Для нахождения первообразной функции и построения её графика, пройдущего через точку A, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Нахождение первообразной для функции f(x) = sin(2x):

Используем формулу для нахождения первообразной от синуса: \[ \int \sin(ax) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax) + C \]

Где C - произвольная постоянная.

Для f(x) = sin(2x), получаем: \[ \int \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2} \cos(2x) + C \]

2. Нахождение первообразной для функции f(x) = 4x - 6x² + 1:

Используем формулу для нахождения первообразной от многочлена: \[ \int (ax^n + bx^{n-1} + ... + k) \, dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + \frac{b}{n}x^n + ... + kx + C \]

Где C - произвольная постоянная.

Для f(x) = 4x - 6x² + 1, получаем: \[ \int (4x - 6x^2 + 1) \, dx = 2x^2 - 2x^3 + x + C \]

3. Нахождение конкретных решений:

Теперь, чтобы найти конкретные решения, удовлетворяющие условию прохождения через точку A, подставим координаты точки A в уравнения первообразных и решим систему уравнений.

Для f(x) = sin(2x): \[ -\frac{1}{2} \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) + C = -2 \] \[ -\frac{1}{2} \cos(\frac{\pi}{2}) + C = -2 \] \[ -\frac{1}{2} \cdot 0 + C = -2 \] \[ C = -2 \]

Таким образом, первообразная для f(x) = sin(2x), проходящая через точку A, имеет вид: \[ -\frac{1}{2} \cos(2x) - 2 \]

Для f(x) = 4x - 6x² + 1: \[ 2 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0^3 + 0 + C = 2 \] \[ 0 - 0 + 0 + C = 2 \] \[ C = 2 \]

Таким образом, первообразная для f(x) = 4x - 6x² + 1, проходящая через точку A, имеет вид: \[ 2x^2 - 2x^3 + x + 2 \]

4. Построение графика:

Теперь мы можем построить графики найденных первообразных функций, проходящих через точку A.