Question

Является ли последовательность Xn=n^2-2n сходящейся? Ответ обоснуйте.

Answer 1

Решение:
Чтобы доказать сходимость ряда, вычислим несобственный интеграл ряда:
$\int\limits^{+\infty}_0 {(x^2-2x)} \, dx = \frac{x^3}{3} - x^2 |\limits^{+\infty}_0 = \\ = \lim_{x \to +\infty} (\frac{x^3}{3} - x^2) - (\frac{0}{3} - 0) = \\ = +\infty$
Несобственный интеграл расходится, следовательно, и ряд тоже расходится.

Answer 2

Для того чтобы определить, является ли последовательность Xn = n^2 - 2n сходящейся, нужно проанализировать ее поведение при стремлении n к бесконечности.

Выражение Xn = n^2 - 2n можно переписать в виде Xn = n(n - 2). При n, стремящемся к бесконечности, первый множитель n также стремится к бесконечности.

Теперь рассмотрим второй множитель (n - 2). Если n стремится к бесконечности, то второй множитель также будет стремиться к бесконечности.

Таким образом, при стремлении n к бесконечности, оба множителя в выражении n(n - 2) будут стремиться к бесконечности.

Из этого следует, что последовательность Xn = n^2 - 2n не является сходящейся, так как она не имеет предела при n, стремящемся к бесконечности.