Question

Ре­ши­те урав­не­ние (x-2)^2+(x-8)^2=2x^2

Answer 1

$x^{2} -4x+4+ x^{2} -16x+64=2 x^{2} ;$
$2 x^{2} -20x+68=2 x^{2} ;$
$20x=68;$
$x = \frac{68}{20} = \frac{17}{5} = 3.4$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение по порядку. Уравнение, которое вам дано, выглядит следующим образом:

(x-2)^2 + (x-8)^2 = 2x^2

Для начала, раскроем квадраты в уравнении:

x^2 - 4x + 4 + x^2 - 16x + 64 = 2x^2

Теперь сгруппируем все члены с x в левой части уравнения:

x^2 + x^2 - 2x^2 - 4x - 16x + 4 + 64 = 0

Просуммируем подобные члены:

0 = -x^2 - 20x + 68

Для того чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем воспользоваться квадратным трёхчленом или формулой дискриминанта. Формула дискриминанта имеет вид:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a, b и c - коэффициенты в нашем уравнении. В данном случае, у нас:

a = -1, b = -20, c = 68

Вычислим дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4(-1)(68) = 400 + 272 = 672

Так как дискриминант больше нуля, у нас будет два различных вещественных корня. Подставим значения в формулу дискриминанта:

x = (-(-20) ± √(672)) / (2(-1))

Сокращаем:

x = (20 ± √(672)) / (-2)

Раскроем корень:

x = (20 ± √(16 * 42)) / (-2)

x = (20 ± 4√42) / (-2)

Упростим дробь:

x = 10 ± 2√42

Таким образом, уравнение имеет два корня:

x1 = 10 + 2√42

x2 = 10 - 2√42

Проверим наши ответы, подставив их обратно в исходное уравнение:

(x1-2)^2 + (x1-8)^2 = 2x1^2

(10 + 2√42 - 2)^2 + (10 + 2√42 - 8)^2 = 2(10 + 2√42)^2

[(8 + 2√42)^2 + (2√42)^2] + [(2√42)^2 + (8 + 2√42)^2] = 2(10 + 2√42)^2

[64 + 32√42 + 168 + 8√42 + 168] + [168 + 8√42 + 64 + 32√42 + 168] = 2(100 + 40√42 + 168)

400 + 80√42 + 672 = 200 + 80√42 + 336

400 + 80√42 + 672 = 400 + 80√42 + 672

Оба корня x1 и x2 удовлетворяют исходному уравнению, что подтверждает правильность наших ответов.

Таким образом, решение уравнения (x-2)^2 + (x-8)^2 = 2x^2 состоит из двух корней:

x1 = 10 + 2√42

x2 = 10 - 2√42