Question

Докажите, что сумма 2 положительных взаимно обратных чисел не меньше 2

Answer 1

Пусть данное число = а  и a>0, тогда обратное число =  1/а.
Известно неравенство о средних: среднее арифметическое чисел не меньше их среднего геометрического, то есть

       $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$

Так как это неравенство верно для любых положительных чисел, запишем его для а и для   $b=\frac{1}{a}$  .

$\frac{a+\frac{1}{a}}{2} \geq \sqrt{a\cdot \frac{1}{a}} \\\\ \frac{a+ \frac{1}{a} }{2} \geq \sqrt{1} \\\\ \underline {a+\frac{1}{a} \geq 2}$

Равенство достигается при   $a=\frac{1}{a}$  .

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, рассмотрим два положительных взаимно обратных числа a и b.

По определению, взаимно обратные числа удовлетворяют условию a * b = 1.

Так как a и b - положительные числа, то их произведение равно 1.

Допустим, что сумма этих чисел меньше 2, то есть a + b < 2.

Умножим обе части неравенства на a * b (так как a * b = 1):

(a * b) * (a + b) < 2 * (a * b)

a * b * a + a * b * b < 2

a^2 + b^2 < 2

Так как a и b - положительные числа, то a^2 и b^2 также положительны.

Следовательно, a^2 + b^2 > 2, что противоречит предположению a + b < 2.

Таким образом, сумма двух положительных взаимно обратных чисел не может быть меньше 2.