Question

Я знаю, что существует формула, позволяющая вычислить сумму всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Но как такое возможно, если прогрессия бесконечно убывает?

Answer 1

Пусть у нас есть квадрат, площадь которого равна 1.
Разделим его на две равные части. Площадь каждой 1/2.
Половину разделим еще пополам. Площадь каждой 1/4.
Четверть разделим еще пополам. Площадь каждой 1/8. И т.д. до бесконечности (см. рисунок)
Площади частей составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, т.е. убывающую. Но сумма площадей всех этих частей равна 1!

Answer 2

Формула для вычисления суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии выглядит так: S = a / (1 - r), где S - сумма всех членов прогрессии, a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии.

Эта формула возможна, потому что, даже если прогрессия убывает бесконечно, то есть каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего, сумма всех этих членов может сходиться к определенному значению. Например, если знаменатель прогрессии r меньше 1, то сумма всех членов прогрессии будет сходиться к определенному числу, даже если количество членов прогрессии стремится к бесконечности.

Таким образом, формула для вычисления суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии позволяет найти значение, к которому сходится сумма всех членов прогрессии, даже если прогрессия убывает бесконечно.