Question

Решить дифференциальное уравнение xy'=1-y

Answer 1

Перепишем уравнение в виде x*y'+y-1=0 или - по сокращению на x - в виде y'+y/x-1/x=0. Это ЛДУ 1-го порядка, его решение будем искать в виде y=u*v, где u=u(x) и v=v(x) -  неизвестные пока функции. Тогда y'=u'*v+u*v' и уравнение принимает вид u'*v+u*v'+u*v/x-1/x=0. Переписываем его в виде v*(u'+u/x)+u*v'-1/x=0. Так как одной из функций u или v мы можем распорядиться по произволу, то полагаем u'+u/x=0, или du/dx=-u/x. Отсюда du/u=-dx/x. Интегрируя обе части, находим ∫du/u=-∫dx/x, или ln/u/=-ln/x/, откуда u=1/x. Подставляя это выражение в уравнение, получаем уравнение v'/x-1/x=0, или v'=dv/dx=1. Отсюда dv=dx, а интегрируя это равенство, находим ∫dv=∫dx, откуда v=x+C. Тогда y=1/x*(x+C)=C/x+1. Проверка: y'=-C/x², x*y'=-C/x, 1-y=1-C/x-1=-C/x, -C/x=-C/x. Ответ: y(x)=C/x+1.   

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение выглядит следующим образом: xy' = 1 - y. Чтобы решить его, мы можем использовать метод разделения переменных.

Шаг 1: Разделение переменных

Начнем с разделения переменных, перемещая все, что содержит y, на одну сторону уравнения, а все, что содержит x и y', на другую сторону:

xy' + y = 1

Шаг 2: Интегрирование

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения. Интегрирование будет выполняться по отдельности для каждого слагаемого:

∫(xy' + y) dx = ∫1 dx

Для левой стороны уравнения применим интегрирование по частям. Правая сторона уравнения интегрируется просто как ∫1 dx, что дает x:

∫xy' dx + ∫y dx = x + C, где C - постоянная интегрирования.

Шаг 3: Интегрирование по частям

Применяем интегрирование по частям к первому слагаемому ∫xy' dx. Для этого мы выбираем u = x и dv = y' dx. Тогда du = dx и v = ∫y' dx = y:

x * y - ∫y dx + ∫y dx = x + C

Упрощаем:

x * y = x + C

Шаг 4: Решение относительно y

Выразим y итоговым решением, разделив обе стороны уравнения на x:

y = 1 + C/x

Где C - произвольная постоянная.

Таким образом, решение дифференциального уравнения xy' = 1 - y имеет вид:

y = 1 + C/x

где C - произвольная постоянная.