Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линией у=х^4 у=0. х=-1. х=1

Answer 1

Площадь равна определенному интегралу с нижним пределом (-1) и верхним пределом (1) от х^4 dx = x^5/5 = [подставлянм пределы] = 1^5/5 - (-1)^5/5=1/5 + 1/5 = 2/5.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линией \(y = x^4\) и \(y = 0\), а также вертикальными линиями \(x = -1\) и \(x = 1\), мы можем использовать метод интегрирования. Поскольку фигура ограничена вертикальными линиями, мы можем выразить ее площадь как разность интегралов.

Первым шагом является нахождение точек пересечения кривых \(y = x^4\) и \(y = 0\). Поскольку \(y = 0\) является осью x, точка пересечения будет \(x = 0\). Также, поскольку нам нужно ограничить фигуру между вертикальными линиями \(x = -1\) и \(x = 1\), наша фигура будет находиться между этими двумя значениями x.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, используя интегралы. Поскольку фигура находится выше оси x, мы будем брать положительные значения функции \(y = x^4\). Площадь фигуры можно вычислить следующим образом:

\[S = \int_{-1}^{1} (x^4 - 0) \, dx\]

Вычислим этот интеграл:

\[S = \int_{-1}^{1} x^4 \, dx\]

Для вычисления этого интеграла, мы можем использовать формулу для интегрирования многочлена:

\[\int x^n \, dx = \frac{{x^{n+1}}}{{n+1}} + C\]

В данном случае, \(n = 4\), поэтому:

\[\int x^4 \, dx = \frac{{x^5}}{5} + C\]

Применим эту формулу к нашему интегралу:

\[S = \left[\frac{{x^5}}{5}\right]_{-1}^{1}\]

Подставим значения:

\[S = \left(\frac{{1^5}}{5}\right) - \left(\frac{{(-1)^5}}{5}\right)\]

\[S = \frac{1}{5} - \frac{-1}{5}\]

\[S = \frac{1}{5} + \frac{1}{5}\]

\[S = \frac{2}{5}\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линией \(y = x^4\), \(y = 0\), \(x = -1\) и \(x = 1\), равна \(\frac{2}{5}\).