Question

Напишите полное решение с объяснением.1) Sin3x+sin5x=sin4x2) 2cos^x/2+sinx=0

Answer 1

Решениееееееееееееееееееееееееееееее

Answer 2

1) Для решения уравнения sin(3x) + sin(5x) = sin(4x) можно воспользоваться формулой суммы синусов, которая гласит: sin(A) + sin(B) = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)

Применим эту формулу к нашему уравнению: sin(3x) + sin(5x) = 2sin((3x+5x)/2)cos((5x-3x)/2) sin(3x) + sin(5x) = 2sin(4x)cos(x)

Теперь у нас получилось уравнение sin(3x) + sin(5x) в виде произведения sin(4x) и cos(x). Мы можем заметить, что sin(4x) = sin(3x + x) = sin(3x)cos(x) + cos(3x)sin(x), и подставить это выражение в уравнение: sin(3x) + sin(5x) = 2(sin(3x)cos(x) + cos(3x)sin(x))cos(x) sin(3x) + sin(5x) = 2sin(3x)cos^2(x) + 2cos(3x)sin(x)cos(x)

Теперь мы можем выразить sin(5x) через sin(3x) и cos(x): sin(5x) = sin(3x)cos(2x) + cos(3x)sin(2x)

Теперь подставляем это в уравнение: sin(3x) + sin(3x)cos(2x) + cos(3x)sin(2x) = 2sin(3x)cos^2(x) + 2cos(3x)sin(x)cos(x)

Упрощаем уравнение: sin(3x)(1 + cos(2x)) + cos(3x)sin(2x) = 2sin(3x)cos^2(x) + 2cos(3x)sin(x)cos(x)

sin(3x)cos(2x) + cos(3x)sin(2x) = 2sin(3x)cos^2(x) + 2cos(3x)sin(x)cos(x)

Теперь можно выразить sin(2x) через sin(x) и cos(x): sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Подставляем это в уравнение: sin(3x)cos(2x) + cos(3x)2sin(x)cos(x) = 2sin(3x)cos^2(x) + 2cos(3x)sin(x)cos(x)

Теперь можно сократить общий множитель cos(x) с обеих сторон уравнения: sin(3x)cos(2x) + 2cos(3x)sin(x) = 2sin(3x)cos(x) + 2cos(3x)sin(x)

Теперь можно сгруппировать подобные члены: sin(3x)cos(2x) - 2sin(3x)cos(x) = -2cos(3x)sin(x) + 2cos(3x)sin(x)

sin(3x)(cos(2x) - 2cos(x)) = 0

Теперь можно решить уравнение, разделив обе стороны на sin(3x): cos(2x) - 2cos(x) = 0 cos(2x) = 2cos(x)

Теперь можно воспользоваться формулой двойного угла для косинуса: cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Подставляем это в уравнение: 2cos^2(x) - 1 = 2cos(x)

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cos(x): 2cos^2(x) - 2cos(x) - 1 = 0

Решаем это уравнение с помощью дискриминанта: D = (-2)^2 - 4*2*(-1) = 4 + 8 = 12

cos(x) = (2 ± √12)/(2*2) = (1 ± √3)/2

Таким образом, получаем два возможных значения для cos(x): cos(x) = (1 + √3)/2 cos(x) = (1 - √3)/2

Теперь найдем соответствующие значения углов x: x = arccos((1 + √3)/2) + 2πn, n - целое число x = arccos((1 - √3)/2) + 2πn, n - целое число

2) Для решения уравнения 2cos(x/2) + sin(x) = 0 можно воспользоваться формулой половинного угла для косинуса: cos(x/2) = ±√((1 + cos(x))/2)

Подставляем это в уравнение: 2(±√((1 + cos(x))/2)) + sin(x) = 0

Теперь мы можем решить это уравнение относительно cos(x): ±√((1 + cos(x))/2) + sin(x) = 0 ±√((1 + cos(x))/2) = -sin(x) (1 + cos(x))/2 = sin^2(x) 1 + cos(x) = 2sin^2(x) cos(x) = 2sin^2(x) - 1

Теперь воспользуемся тригонометрической тождеством sin^2(x) + cos^2(x) = 1: 2sin^2(x) - 1 + cos^2(x) = 1 2sin^2(x) + cos^2(x) = 2 cos^2(x) = 2 - 2sin^2(x) cos(x) = ±√(2 - 2sin^2(x))

Подставляем это в уравнение: 2(±√(2 - 2sin^2(x))/2 + sin(x) = 0 ±√(2 - 2sin^2(x)) + 2sin(x) = 0 ±√(2 - 2sin^2(x)) = -2sin(x)

Теперь возводим обе стороны уравнения в квадрат: 2 - 2sin^2(x) = 4sin^2(x) 6sin^2(x) = 2 sin^2(x) = 1/3 sin(x) = ±√(1/3)

Таким образом, получаем два возможных значения для sin(x): sin(x) = √(1/3) sin(x) = -√(1/3)

Теперь найдем соответствующие значения углов x: x = arcsin(√(1/3)) + 2πn, n - целое число x = arcsin(-√(1/3)) + 2πn, n - целое число