Question

sin^2x -2sinxcosx -3cos^2x=0 Решить и найти корни, принадлежащие промежутку [-пи; пи/2]. Помогите пожалуйста! :)

Answer 1

sin²x - 2sinxcosx - 3cos²x = 0 | : cos²x

tg²x - 2tgx - 3 = 0

замена: tgx = a

a² - 2a - 3 = 0

по т. Виета:

a₁ = 3 

a₂ = -1

обратная замена:

tgx = 3

x₁ = arctg3 + πn, n∈Z

tgx = -1

x₂ = -π/4 + πn, n∈Z

 

 

 На промежутке [-π;π/2] уравнение имеет 2 кореня: -π/4; arctg3 

 

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества и методы факторизации. Давайте посмотрим, как мы можем применить эти методы для решения уравнения sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) - 3cos^2(x) = 0 на интервале [-π, π/2].

Применение тригонометрических тождеств

Первым шагом будет использование тригонометрических тождеств, чтобы выразить все функции через одну переменную. Мы можем использовать тождество cos^2(x) = 1 - sin^2(x) для замены переменной.

Заменим cos^2(x) в уравнении:

sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) - 3(1 - sin^2(x)) = 0

Раскроем скобки:

sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) - 3 + 3sin^2(x) = 0

Сгруппируем по степеням sin(x):

4sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) - 3 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x).

Факторизация квадратного уравнения

Для решения квадратного уравнения 4sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) - 3 = 0, мы можем попробовать факторизацию или использование формулы дискриминанта.

Попробуем факторизацию:

(2sin(x) - 3)(2sin(x) + 1) = 0

Теперь у нас есть два уравнения:

1) 2sin(x) - 3 = 0 2) 2sin(x) + 1 = 0

Решим каждое уравнение по отдельности:

1) 2sin(x) - 3 = 0 2sin(x) = 3 sin(x) = 3/2

Однако, значение sin(x) не может быть больше 1, поэтому это уравнение не имеет решений на интервале [-π, π/2].

2) 2sin(x) + 1 = 0 2sin(x) = -1 sin(x) = -1/2

Мы знаем, что sin(x) = -1/2 для некоторых углов на интервале [-π, π/2]. Давайте найдем эти углы.

Нахождение углов, для которых sin(x) = -1/2

Для нахождения углов, для которых sin(x) = -1/2, мы можем использовать таблицу значений синуса или тригонометрические идентичности.

Мы знаем, что sin(x) = -1/2 для угла -π/6 на интервале [-π, π/2]. Также, поскольку sin(x) имеет период 2π, мы можем добавить 2π к -π/6, чтобы получить другой угол на интервале [-π, π/2].

Таким образом, на интервале [-π, π/2] у нас есть два угла, для которых sin(x) = -1/2: -π/6 и 5π/6.

Решение уравнения и нахождение корней

Теперь, когда мы знаем, что sin(x) = -1/2 для углов -π/6 и 5π/6 на интервале [-π, π/2], мы можем решить исходное уравнение.

Используем найденные значения sin(x) и находим соответствующие значения x:

Для sin(x) = -1/2: 1) x = -π/6 2) x = 5π/6

Таким образом, корни уравнения sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) - 3cos^2(x) = 0, принадлежащие интервалу [-π, π/2], равны -π/6 и 5π/6.