Question

Найдите наибольшее значение функции y=x+1/x на отрезке 0,5;3

Answer 1

Y`=(x-x-1)/x²=-1/x²≠0
y(0,5)=1,5/0,5=3 наиб
y(3)=4/3=1 1/3

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции \( y = x + \frac{1}{x} \) на отрезке \( 0.5 \leq x \leq 3 \) воспользуемся методом дифференциального исчисления. Для начала найдем производную функции \( y \) по переменной \( x \) и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки функции. Затем, используя теорему о нахождении экстремумов, определим, является ли найденная точка максимумом или минимумом функции.

Нахождение производной функции \( y = x + \frac{1}{x} \)

Производная функции \( y \) будет равна сумме производных слагаемых \( x \) и \( \frac{1}{x} \), так как они являются функциями переменной \( x \).

1. Производная слагаемого \( x \): \( y' = 1 \) 2. Производная слагаемого \( \frac{1}{x} \): \( y' = -\frac{1}{x^2} \)

Теперь сложим производные слагаемых, чтобы получить производную функции \( y \): \[ y' = 1 - \frac{1}{x^2} \]

Нахождение критических точек

Чтобы найти критические точки функции, приравняем производную к нулю и найдем значения \( x \): \[ 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \] \[ 1 = \frac{1}{x^2} \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1 \]

Таким образом, у нас есть две критические точки: \( x = 1 \) и \( x = -1 \). Однако, поскольку нас интересует отрезок \( 0.5 \leq x \leq 3 \), то \( x = -1 \) не подходит, так как не входит в этот отрезок.

Определение типа экстремума

Чтобы определить, является ли найденная критическая точка максимумом или минимумом функции, можно воспользоваться второй производной теоремой. Для этого найдем вторую производную функции \( y \) и подставим \( x = 1 \), чтобы определить тип экстремума.

1. Найдем вторую производную функции \( y \): \[ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (1 - \frac{1}{x^2}) = \frac{2}{x^3} \]

2. Подставим \( x = 1 \) во вторую производную: \[ y''(1) = \frac{2}{1^3} = 2 \]

Так как вторая производная положительна (\( y''(1) > 0 \)), то найденная критическая точка \( x = 1 \) является точкой минимума функции.

Ответ

Наибольшее значение функции \( y = x + \frac{1}{x} \) на отрезке \( 0.5 \leq x \leq 3 \) достигается при \( x = 1 \) и равно \( y = 1 + \frac{1}{1} = 2 \).