Question

Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если сумма первого и четвёртого членов равна 27, а сумма второго и третьего членов равна 12.

Answer 1

A1+a4=a1+a1*q^3=a1*(1+q^3)=27
a2+a3=a1*q+a1*q^2=a1*q(1+q)=12
Раскрываем сумму кубов
a1(1+q)(1-q+q^2)=27
q*a1(1+q)=12
Из 2 уравнения a1(1+q)=12/q
12/q*(1-q+q^2)=27
Умножаем на q и делим на 3.
4q^2-4q+4=9q
4q^2-13q+4=0
D=13^2-4*4*4=169-64=105
q=(13+-√105)/8; q+1=(21+-√105)/8
a1=12/[q(q+1)]=12*32/(189+-17√105)=
(189-+17√105)/14

Answer 2

Давайте решим эту задачу. Пусть первый член геометрической прогрессии будет равен a, а знаменатель прогрессии будет равен q.

Сумма первого и четвёртого членов прогрессии равна 27, поэтому мы можем записать следующее уравнение: a + aq^3 = 27 (уравнение 1)

Также, сумма второго и третьего членов прогрессии равна 12, поэтому мы можем записать следующее уравнение: aq + aq^2 = 12 (уравнение 2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений, которую мы можем решить, чтобы найти значения a и q.

Решение уравнений:

Уравнение 2 можно переписать в виде aq(1 + q) = 12.

Теперь мы можем разделить уравнение 1 на уравнение 2, чтобы устранить a из уравнений: (a + aq^3) / (aq(1 + q)) = 27 / 12

Упростим это выражение, сокращая a: (1 + q^2) / (q(1 + q)) = 27 / 12

Теперь можем сократить на общий множитель (1 + q): (1 + q) / q = 27 / 12

Умножим обе части уравнения на q: 1 + q = (27 / 12)q

Разделим обе части на (27 / 12): (1 + q) / (27 / 12) = q

Упростим это выражение: (1 + q) * (12 / 27) = q

Раскроем скобки: (12 / 27) + (12 / 27)q = q

Вынесем q на одну сторону уравнения: (12 / 27)q - q = -(12 / 27)

Упростим это выражение: q * (12 / 27 - 1) = -(12 / 27)

Найдём разность в скобках: q * (-15 / 27) = -(12 / 27)

Делим обе части на (-15 / 27): q = -(12 / 27) / (-15 / 27)

Упростим это выражение: q = 12 / 15

Теперь, когда мы нашли q, мы можем использовать уравнение 2, чтобы найти a:

aq + aq^2 = 12

Подставим значение q: (12 / 15)a + (12 / 15)a^2 = 12

Упростим это выражение, умножая обе части на 15: 12a + 12a^2 = 180

Перепишем это уравнение в стандартной форме: 12a^2 + 12a - 180 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить. Для этого мы можем использовать квадратное уравнение или факторизацию.

Факторизуем это уравнение: 12(a^2 + a - 15) = 0

Теперь у нас есть два возможных значения a:

1. a = 0 2. a^2 + a - 15 = 0

Решим второе уравнение, используя факторизацию:

Умножим коэффициент перед a^2 и перед -15: 1 * (-15) = -15

Найдём два числа, которые перемножаются, дают -15, и при этом их сумма равна коэффициенту перед a, то есть 1. Эти числа будут -5 и 3.

Теперь мы можем разложить уравнение на два множителя: (a - 5)(a + 3) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных значения a:

1. a = 5 2. a = -3

Таким образом, первый член геометрической прогрессии может быть равен 5 или -3.

Теперь, когда мы нашли значения a и q, мы можем записать геометрическую прогрессию.

Если a = 5 и q = 12/15, то прогрессия будет иметь вид: 5, (12/15) * 5, (12/15)^2 * 5, (12/15)^3 * 5, ...

Если a = -3 и q = 12/15, то прогрессия будет иметь вид: -3, (12/15) * -3, (12/15)^2 * -3, (12/15)^3 * -3, ...

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, когда известны суммы различных членов прогрессии. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!