Question

Уважаемые математики!Помогите, пожалуйста, с задачей: Можно ли найти такие числа p и q, что выражение x^2+px+q при любом целом x принимает целое значение, делящееся на 3? Задача нестандартная. Я думаю, что нет. Но как ее решить?Вместо x взять 2n и 2n+1 и подставлять и решать систему? Спасибо большое)

Answer 1

Пусть  такое  возможно  и  такие  p и q существуют.
тогда  при x=+-1
Выражение  целое  и делится  на 3.
То P(1)= 1+p+q  делится на 3
и P(-1)=1-p+q  делится на 3.
Поскольку  условие должно  быть выполнено  для всех x.
Не  будем забывать  что  нуль тоже  целое число.
В  нуле многочлен  равен q. То  есть q кратно 3. P(0)=q -целое и делится на 3
Cложем  почленно: P(1)+P(-1)=2+2q .   Поскольку  оба выражения P(1) и P(-1) кратны 3 ,то  их  сумма  тоже кратна 3.
То  2+2q кратно  3. 2*q кратно 3  ,тк q-кратно 3.
Но 2  не  кратно 3. А  по  признаку не  делимости: если одно  число делится на  второе,а второе нет. То  все выражение не  делится на это число. То  есть 2+2q не  кратно 3. То  есть  мы пришли к противоречию таких чисел  p и q нет. Вообще можно  доказать  что можно  найти p и q для  постоянной  делимости при  любом x,  только  на 2 этим же способом. А  для  натуральных чисел  выше двух  таких p и q отыскать  нельзя и  вы уже поняли почему . А  вот для делимости  на 2 такой многочлен  действительно есть. x*(x+1)=x^2+x  А  вот  для делимости  на 3 нужен  как минимум многочлен  3 степени: ну  например  x*(x+1)*(x+2) . Но  это я  так  к  слову.