Question

Упростите выражение1) √2 sin (п/4+a) - cos a2) √2 sin (a-п/4) - sin a3) 2 cos (п/3-a) - √3 sin a4) √3 cos a - 2 cos (a-п/6)

Answer 1

1. = √2 sin $\frac{ \pi}{4}$ cos a + cos $\frac{ \pi}{4}$ sina - cos a = √2 $\frac{ \sqrt{2} }{2}$ cos a + $\frac{ \sqrt{2} }{2}$ sina - cos a = cos a + $\frac{ \sqrt{2} }{2}$ sina - cos a = $\frac{ \sqrt{2} }{2}$ sin a
2. = √2 cos $\frac{ \pi}{4}$ sina - sin $\frac{ \pi}{4}$ cos a = sin a + $\frac{ \sqrt{2} }{2}$ cosa - sin a = - $\frac{ \sqrt{2} }{2}$ cos a
3. = 2 ( cos $\frac{ \pi}{3}$ cos a + sin $\frac{ \pi}{3}$ sin a) - √3 sina = 2 ($\frac{1}{2}$ cosa + $\frac{ \sqrt{3} }{2}$ sina) - √3 sina = cosa + √3 sina - √3 sina  = cosa
4. = √3 cosa - 2 ( cos $\frac{ \pi}{6}$ cos a + sin $\frac{ \pi}{6}$ sin a) = √3 cosa - 2 ( cosa $\frac{ \sqrt{3} }{2}$+  sina $\frac{1}{2}$) = √3 cosa -  √3 cosa - sina  = - sina

Answer 2

Давайте поочередно упростим данные выражения.

1) \(\sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4} + a\)- \(\cos a\):

Используем тригонометрические тождества. Заметим, что \(\sin(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Также, учитывая, что \(\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\), мы можем записать:

\[\sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4} + a\)- \(\cos a = \sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a\right) - \cos a\]

Раскрываем скобки и упрощаем:

\[= \sqrt{2} \cos a + \sqrt{2} \sin a - \cos a\]

\[= (\sqrt{2} - 1) \cos a + \sqrt{2} \sin a\]

2) \(\sqrt{2} \sin(a - \frac{\pi}{4}) - \sin a\):

Аналогично, используем тригонометрические тождества:

\[\sqrt{2} \sin(a - \frac{\pi}{4}) - \sin a = \sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a\right) - \sin a\]

Раскрываем скобки и упрощаем:

\[= \sqrt{2} \cos a - \sqrt{2} \sin a - \sin a\]

\[= \sqrt{2} \cos a - (\sqrt{2} + 1) \sin a\]

3) \(2 \cos(\frac{\pi}{3} - a) - \sqrt{3} \sin a\):

Используем тригонометрические тождества. Заметим, что \(\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\) и \(\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Также, учитывая, что \(\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\), мы можем записать:

\[2 \cos(\frac{\pi}{3} - a) - \sqrt{3} \sin a = 2 \left(\frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a\right) - \sqrt{3} \sin a\]

Раскрываем скобки и упрощаем:

\[= \cos a + \sqrt{3} \sin a - \sqrt{3} \sin a\]

\[= \cos a\]

4) \(\sqrt{3} \cos a - 2 \cos(a - \frac{\pi}{6})\):

Используем тригонометрические тождества. Заметим, что \(\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\). Также, учитывая, что \(\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\), мы можем записать:

\[\sqrt{3} \cos a - 2 \cos(a - \frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} \cos a - 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos a + \frac{1}{2} \sin a\right)\]

Раскрываем скобки и упрощаем:

\[= \sqrt{3} \cos a - \sqrt{3} \cos a - \sin a\]

\[= -\sin a\]

Таким образом, упрощенные формы данных выражений:

1) \((\sqrt{2} - 1) \cos a + \sqrt{2} \sin a\)

2) \(\sqrt{2} \cos a - (\sqrt{2} + 1) \sin a\)

3) \(\cos a\)

4) \(-\sin a\)