Question

Найдите точку экстремума функции и промежутки убывания f (x)=x^3+3x^2-9x срочно!

Answer 1

Берем производную
f' = 3x^2+6x-9
3x^2+6x-9 = 0
x^2+2x-3=0
x1=-3, x2=1
При x<-3 f' > 0 => f(x) возрастает
При -3<x<1 f' < 0 => f(x) убывает
При x>1 f' > 0 => f(x) возрастает
Значит, x=-3 - точка максимума
x=1 - точка минимума
f(x) убывает на интервале (-3;1)

Answer 2

Чтобы найти точку экстремума функции \(f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x\), следует выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции \(f'(x)\).

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (x^3 + 3x^2 - 9x) \]

Используем правила дифференцирования:

\[ f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 \]

2. Теперь решим уравнение \(f'(x) = 0\) для нахождения точек, в которых производная равна нулю.

\[ 3x^2 + 6x - 9 = 0 \]

Это квадратное уравнение, которое можно решить с использованием дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \(a = 3\), \(b = 6\), \(c = -9\).

\[ D = 6^2 - 4(3)(-9) = 36 + 108 = 144 \]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два действительных корня:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_{1,2} = \frac{-6 \pm 12}{6} \]

Таким образом, получаем два корня \(x_1 = -3\) и \(x_2 = 1\).

3. Теперь найдем значения второй производной \(f''(x)\) для определения характера точек, где производная равна нулю.

\[ f''(x) = \frac{d}{dx} (3x^2 + 6x - 9) \]

\[ f''(x) = 6x + 6 \]

4. Подставим найденные корни \(x_1 = -3\) и \(x_2 = 1\) во вторую производную:

\[ f''(-3) = 6(-3) + 6 = -18 \]

\[ f''(1) = 6(1) + 6 = 12 \]

Теперь можем сделать выводы:

- В точке \(x = -3\) вторая производная отрицательна (\(f''(-3) < 0\)), следовательно, это точка максимума. - В точке \(x = 1\) вторая производная положительна (\(f''(1) > 0\)), следовательно, это точка минимума.

Таким образом, функция \(f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x\) имеет точку максимума в точке \((-3, f(-3))\) и точку минимума в точке \((1, f(1))\). Также, можно провести анализ интервалов убывания функции между найденными точками.