Question

1) 2sin^2x + sinx - 1= 0 2) 2cos^2x + cosx - 6 =0 3) 3cos^2x - sinx - 1 = 0 4) 2sin^2x + 3cosx = 0

Answer 1

1) 2sin^2x + sinx - 1= 0
решаем как квадратное
D = 9
а) Sinx = 1/2                              б) Sinx = -1
x = (-1)ⁿπ/6 + πn , n ∈Z                  x = -π/2 + 2πk , k ∈Z
2) 2cos^2x + cosx - 6 =0 
решаем как квадратное
D = 49
a)Сosx = 3/2            б)  Сosx = -2
            ∅                            ∅
3) 3cos^2x - sinx - 1 = 0 
3(1 - Sin^2 x) - Sinx -1 = 0
3 - 3Sin^2x  -Sinx -1 = 0  
-3Sin^2x - Sinx +2 = 0
3Sin^2x +Sinx -2 = 0
решаем как квадратное 
D = 25
а) Sinx = 2/3                                           б)Sinx = -1
x = (-1)ⁿarcSin2/3 + nπ, n ∈Z                     x = -π/2 +2πk, k ∈Z

4) 2sin^2x + 3cosx = 0
2(1 - Cos^2x) + 3Cosx = 0
2 - 2Cos^2x + 3Cosx = 0
2Cos^2x -3Cosx -2 = 0
решаем как квадратное
D = 25
a) Сosx = 2                   б)Cosx = -1/2
          ∅                                х = (-1)ⁿarcSin(-1/2) + nπ, n ∈Z
                                             x = (-1)ⁿ⁺¹ π/6 + nπ,  n ∈Z  

Answer 2

Для решения уравнений, представленных в вашем вопросе, нам потребуется применить некоторые тригонометрические и алгебраические методы. Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

1) Уравнение: 2sin^2(x) + sin(x) - 1 = 0

Для начала, заметим, что это квадратное уравнение относительно sin(x). Мы можем решить его, используя методы квадратного трехчлена. Давайте обозначим sin(x) как t:

2t^2 + t - 1 = 0

Мы можем решить это уравнение, используя формулу квадратного трехчлена:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 2, b = 1 и c = -1

Вычислим значения t:

t = (-1 ± √(1 - 4(2)(-1))) / (2(2))

t = (-1 ± √(1 + 8)) / 4

t = (-1 ± √9) / 4

t = (-1 ± 3) / 4

Таким образом, у нас есть два возможных значения t:

1) t = (3 - 1) / 4 = 2 / 4 = 1/2 2) t = (-3 - 1) / 4 = -4 / 4 = -1

Теперь, чтобы найти значения x, мы знаем, что sin(x) = t. Используя обратные тригонометрические функции, мы можем найти значения x:

1) sin(x) = 1/2 x = arcsin(1/2) x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn, где n - целое число

2) sin(x) = -1 x = arcsin(-1) x = -π/2 + 2πn, где n - целое число

Таким образом, решения уравнения 2sin^2(x) + sin(x) - 1 = 0: x = π/6, 5π/6, -π/2, -π/2 + 2π, -π/2 + 4π, и т.д.

2) Уравнение: 2cos^2(x) + cos(x) - 6 = 0

Это также квадратное уравнение относительно cos(x). Представим cos(x) как t:

2t^2 + t - 6 = 0

Решим его, используя формулу квадратного трехчлена:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 2, b = 1 и c = -6

Вычислим значения t:

t = (-1 ± √(1 - 4(2)(-6))) / (2(2))

t = (-1 ± √(1 + 48)) / 4

t = (-1 ± √49) / 4

t = (-1 ± 7) / 4

Таким образом, у нас есть два возможных значения t:

1) t = (7 - 1) / 4 = 6 / 4 = 3/2 2) t = (-7 - 1) / 4 = -8 / 4 = -2

Теперь, чтобы найти значения x, мы знаем, что cos(x) = t. Используя обратные тригонометрические функции, мы можем найти значения x:

1) cos(x) = 3/2 x = arccos(3/2) В этом случае уравнение не имеет решений, так как значение cos(x) не может превышать 1.

2) cos(x) = -2 x = arccos(-2) В этом случае уравнение также не имеет решений, так как значение cos(x) всегда находится в пределах от -1 до 1.

Таким образом, уравнение 2cos^2(x) + cos(x) - 6 = 0 не имеет решений.

3) Уравнение: 3cos^2(x) - sin(x) - 1 = 0

Это квадратное уравнение относительно cos(x) и sin(x). Мы можем решить его, используя методы квадратного трехчлена:

3t^2 - t - 1 = 0

Решим его, используя формулу квадратного трехчлена:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 3, b = -1 и c = -1

Вычислим значения t:

t = (1 ± √(1 - 4(3)(-1))) / (2(3))

t = (1 ± √(1 + 12)) / 6

t = (1 ± √13) / 6

Таким образом, у нас есть два возможных значения t:

1) t = (1 + √13) / 6 2) t = (1 - √13) / 6

Теперь, чтобы найти значения x, мы знаем, что cos(x) = t и sin(x) = √(1 - cos^2(x)). Используя обратные тригонометрические функции, мы можем найти значения x:

1) cos(x) = (1 + √13) / 6 sin(x) = √(1 - cos^2(x)) x = arccos((1 + √13) / 6) В этом случае уравнение не имеет решений, так как значение cos(x) не может превышать 1.

2) cos(x) = (1 - √13) / 6 sin(x) = √(1 - cos^2(x)) x = arccos((1 - √13) / 6) В этом случае уравнение также не имеет решений, так как значение cos(x) всегда находится в пределах от -1 до 1.

Таким образом, уравнение 3cos^2(x) - sin(x) - 1 = 0 не имеет решений.

4) Уравнение: 2sin^2(x) + 3cos(x) = 0

В данном уравнении нам нужно найти значения x, удовлетворяющие условию. Мы можем преобразовать его, используя тригонометрические тождества:

2(1 - cos^2(x)) + 3cos(x) = 0

2 - 2cos^2(x) + 3cos(x) = 0

-2cos^2(x) + 3cos(x) + 2 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение относительно cos(x), используя методы квадратного трехчлена:

-2t^2 + 3t + 2 = 0

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = -2, b = 3 и c = 2

Вычислим значения t:

t = (-3 ± √(9 - 4(-2)(2))) / (2(-2))

t = (-3 ± √(9 + 16)) / (-4)

t = (-3 ± √25) / (-4)

t = (-3 ± 5) / (-4)

Таким образом, у нас есть два возможных значения t:

1) t = (-3 + 5) / (-4) = 2 / (-4) = -1/2 2) t = (-3 - 5) / (-4) = -8 / (-4) = 2

Теперь, чтобы найти значения x, мы знаем, что cos(x) = t