Question

Помогите решить |5-4x| <= 8x+17 (в смысле <= равно меньше и равно)

Answer 1

5 -4 умножить на икс меньше равно восемь плюс 17 умножить на икс

Answer 2

Для решения данного неравенства с модулем необходимо рассмотреть два случая, исходя из знака выражения в модуле.

1. Когда \(5 - 4x\) внутри модуля положительно или равно нулю (\(5 - 4x \geq 0\)). 2. Когда \(5 - 4x\) внутри модуля отрицательно (\(5 - 4x < 0\)).

Начнем с первого случая:

1. \(5 - 4x \geq 0\) Для этого найдем точку, в которой \(5 - 4x = 0\): \[5 - 4x = 0\] \[4x = 5\] \[x = \frac{5}{4}\]

Таким образом, при \(x \leq \frac{5}{4}\) выражение \(5 - 4x\) неотрицательно.

Теперь рассмотрим второй случай:

2. \(5 - 4x < 0\) Это происходит, когда \(x > \frac{5}{4}\), потому что в противном случае \(5 - 4x\) будет неотрицательным.

Теперь подставим эти результаты в исходное неравенство \(|5 - 4x| \leq 8x + 17\):

1. Для \(x \leq \frac{5}{4}\): Подставляем \(x = \frac{5}{4}\) в неравенство: \[|5 - 4x| = |5 - 4 \cdot \frac{5}{4}| = |5 - 5| = |0| = 0\] \[8x + 17 = 8 \cdot \frac{5}{4} + 17 = 10 + 17 = 27\] Но \(0 \leq 27\) верно для всех \(x \leq \frac{5}{4}\), следовательно, это удовлетворяет условию.

2. Для \(x > \frac{5}{4}\): Подставляем \(x = \frac{5}{4} + \varepsilon\), где \(\varepsilon > 0\), в неравенство: \[|5 - 4x| = |5 - 4 \cdot \left(\frac{5}{4} + \varepsilon\right)| = |5 - 5 - 4\varepsilon| = |-4\varepsilon|\] \[8x + 17 = 8 \cdot \left(\frac{5}{4} + \varepsilon\right) + 17 = 10 + 8\varepsilon + 17 = 27 + 8\varepsilon\] Для \(x > \frac{5}{4}\), условие \(|-4\varepsilon| \leq 27 + 8\varepsilon\) будет верным при \(\varepsilon > -\frac{27}{12}\). Таким образом, при \(x > \frac{5}{4}\) данное неравенство также выполняется.

Итак, решение исходного неравенства \(|5 - 4x| \leq 8x + 17\) включает в себя все значения \(x \leq \frac{5}{4}\) и \(x > \frac{5}{4}\), что означает, что оно верно для всех значений \(x\).