Question

Решите уравнение sin(2 Pi+3x)-корень из 3 sin(3pi/2+3x)=0

Answer 1

Sin(2П+3x)=sin3x (2п -период синуса )
sin(3п/2+3x)=-cos3x (синус на интервале меньше нуля, меняем на косинус
перед ним ставим минус)
sin3x+√3cos3x=0
tgx=-√3
x=-П/3+пk

Answer 2

Дано уравнение: sin(2π + 3x) - √3sin(3π/2 + 3x) = 0

Чтобы решить это уравнение, применим формулы синуса для разностей и суммы углов.

Начнем с замены переменной, пусть y = 3x. Тогда уравнение примет вид: sin(2π + y) - √3sin(3π/2 + y) = 0

Теперь воспользуемся формулами синуса для разности углов: sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB

Применим эту формулу для первого слагаемого: sin(2π + y) = sin2πcosy - cos2πsiny sin(2π + y) = 0cosy - 1siny sin(2π + y) = -siny

Применим формулы синуса для второго слагаемого: √3sin(3π/2 + y) = √3sin3π/2cosy + √3cos3π/2siny √3sin(3π/2 + y) = √3(-1)cosy + √3(0)siny √3sin(3π/2 + y) = -√3cosy

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное уравнение: -siny - (-√3cosy) = 0

Упростим это уравнение: -siny + √3cosy = 0

Домножим обе части уравнения на -1/√3: (siny - √3cosy)/√3 = 0

Теперь применим формулу тангенса двойного угла: tan2α = 2tanα/(1 - tan²α)

Пусть α = y/2, тогда: tan(y/2) = 2tan(y/4)/(1 - tan²(y/4))

Теперь решим это уравнение. Если tan(y/4) = t, то получаем квадратное уравнение: t² - 2√3t - 1 = 0

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: D = (2√3)² - 4(1)(-1) = 12 + 4 = 16 √D = 4

t₁ = (2√3 + 4)/2 = √3 + 2 t₂ = (2√3 - 4)/2 = -√3 - 2

Таким образом, получаем два значения для t. Теперь найдем значения для y/4: tan(y/4) = √3 + 2 y/4 = arctan(√3 + 2)

И также: tan(y/4) = -√3 - 2 y/4 = arctan(-√3 - 2)

Наконец, получаем значения для y: y = 4arctan(√3 + 2) y = 4arctan(-√3 - 2)

Теперь найдем значения для x: 3x = y x = y/3

Итак, решением данного уравнения являются два набора: 1) x = 4arctan(√3 + 2)/3 2) x = 4arctan(-√3 - 2)/3