Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА! СРОЧНОО! решите неравенство (lg(0.5x+0.25))/(log (x^2+1) по основанию 0,3 ) >=0

Answer 1

$\frac{log_{10}(0,5x+0,25)}{log_{0,3}(x^2+1)}\geq0$

ОДЗ: 
$\left[\begin{array}{ccc}0,5x+0,25\ \textgreater \ 0\\x^2+1\ \textgreater \ 0\\x^2+1\neq1\end{array}\right\to\left[\begin{array}{ccc}x\ \textgreater \ -0,5\\x^2\ \textgreater \ -1\\x\neq0\end{array}\right$
Ответ: $x\in(-0,5;0)U(0;+inf)$

Решение: 

1. Ответ: $x\geq-0,3$
$\left[\begin{array}{ccc}log_{10}(0,5x+0,25)\geq0\\log_{0,3}(x^2+1)\ \textgreater \ 0\end{array}\right\end{array}\right\to\left[\begin{array}{ccc}0,5x+0,25\geq10^0\\x^2+1\ \textless \ 0,3^0\end{array}\right\end{array}\right\to\left[\begin{array}{ccc}x\geq-0,3\\x^2\ \textless \ 0\end{array}\right\end{array}\right$

2. Ответ: $x\leq-0,3$
$\left[\begin{array}{ccc}log_{10}(0,5x+0,25)\leq0\\log_{0,3}(x^2+1)\ \textless \ 0\end{array}\right\end{array}\right\to\left[\begin{array}{ccc}0,5x+0,25\leq10^0\\x^2+1\ \textless \ 0,3^0\end{array}\right\end{array}\right\to\left[\begin{array}{ccc}x\leq-0,3\\x^2\ \textless \ 0\end{array}\right\end{array}\right$

Ответ: $x\in(-0,5;0)U(0;+inf)$

Answer 2

Для начала, давайте разберемся с обозначениями:

- lg(x) - это десятичный логарифм числа x - log(x) - это логарифм числа x по основанию 10 - log(a, b) - это логарифм числа b по основанию a

Теперь решим неравенство:

(lg(0.5x+0.25))/(log(x^2+1)) >= 0

Прежде всего, заметим, что основание логарифма в знаменателе равно 0,3. Для упрощения задачи, давайте заменим его на 10, так как мы уже знаем, что log(a, b) = log(b)/log(a).

Теперь неравенство принимает вид:

(lg(0.5x+0.25))/(log(x^2+1)) >= 0

Используем свойство логарифмов log(a) - log(b) = log(a/b):

[lg(0.5x+0.25) - log(x^2+1)] >= 0

Складываем логарифмы с одинаковыми основаниями:

[log((0.5x+0.25)/(x^2+1))] >= 0

Введем новую функцию f(x) = (0.5x+0.25)/(x^2+1).

Теперь следует определить интервалы значений переменной x, в которых функция f(x) >= 0:

1) Определение знака числителя (0.5x+0.25): 0.5x+0.25 > 0 0.5x > -0.25 x > -0.5

2) Определение знака знаменателя (x^2+1) посредством поиска его корней: x^2 + 1 = 0 x^2 = -1 Данное уравнение не имеет действительных корней, значит, знаменатель положительный для всех значений x.

Теперь определим знак произведения числителя и знаменателя:

f(x) >= 0 только если x > -0.5.

Таким образом, решение неравенства (lg(0.5x+0.25))/(log(x^2+1)) >= 0 - это множество всех значений x из интервала (-0.5, +∞).