Question

Доказать что разность между квадратом любого натурального числа и самим этим числом делится на 2

Answer 1

Обозначим натуральное число через n; тогда$n^{2} - n=n(n - 1)$ является произведением двух соседних натуральных чисел, одно из которых, конечно, четное - ведь четные и нечетные числа строго чередуются. Следовательно, и произведение этих чисел делится на 2

Answer 2

Конечно, это можно доказать с помощью математической индукции. Давайте предположим, что \(n\) - это любое натуральное число.

1. Базовый случай (n = 1): При \(n = 1\) разность между квадратом числа и самим числом равна: \[1^2 - 1 = 1 - 1 = 0\] Разность равна нулю, и она делится на 2 без остатка.

2. Шаг индукции: Предположим, что для некоторого \(k = m\) разность между квадратом числа и самим числом делится на 2, то есть \(m^2 - m = 2p\), где \(p\) - целое число.

3. Доказательство для \(k = m + 1\): Теперь рассмотрим \((m + 1)^2 - (m + 1)\): \[(m + 1)^2 - (m + 1) = m^2 + 2m + 1 - (m + 1)\] \[m^2 - m + 2m = m^2 + m = m^2 - m + 2m = 2p + 2m = 2(p + m)\] Получается, что разность делится на 2 без остатка.

Таким образом, при условии, что для некоторого числа \(k = m\) разность между квадратом этого числа и самим числом делится на 2, мы показали, что это верно и для \(k = m + 1\). Следовательно, это утверждение верно для любого натурального числа \(n\) по принципу математической индукции.