Question

Область значения функции. Как найти?? Y=x^2+4x+13 , x принадлежит [-5;0].

Answer 1

Область значения функции. Как найти??Y=x^2+4x+13 , x принадлежит [-5;0].

1)сначала нарисуем параболу (график Y=x^2+4x+13)

1.1 ветви вверх, т.к коэффициент при x^2 равен 1 >0
1.2 координаты вершины - (-2;9)
2) найдем Y(-5)=25-20+13=18
                 Y(0)=0-0+13=13
Таким образом Область значения функции Y=x^2+4x+13  У∈(9;18)

Answer 2

Чтобы найти область значений функции \( y = x^2 + 4x + 13 \) при условии, что \( x \) принадлежит интервалу \([-5, 0]\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите критические точки функции. 2. Определите, где функция возрастает, а где убывает. 3. Учтите ограничения по диапазону \( x \). 4. Найдите значения функции в крайних точках и в критических точках.

Давайте пошагово решим ваш вопрос.

1. Найдем критические точки:

Для этого возьмем производную функции и приравняем ее к нулю:

\[ y' = 2x + 4 \]

\[ 0 = 2x + 4 \]

\[ 2x = -4 \]

\[ x = -2 \]

Таким образом, у нас есть одна критическая точка \( x = -2 \).

2. Определим, где функция возрастает, а где убывает:

Для этого рассмотрим интервалы между критическими точками и концами интервала \([-5, 0]\). Выберем тестовую точку в каждом интервале и определим знак производной в этой точке:

- В интервале \((- \infty, -5)\) возьмем \(x = -6\), тогда \(y'(-6) = 2(-6) + 4 = -8 < 0\), что означает, что функция убывает на этом интервале. - В интервале \((-5, -2)\) возьмем \(x = -3\), тогда \(y'(-3) = 2(-3) + 4 = -2 < 0\), что также означает убывание функции. - В интервале \((-2, 0)\) возьмем \(x = -1\), тогда \(y'(-1) = 2(-1) + 4 = 2 > 0\), что означает, что функция возрастает.

3. Учтем ограничения по диапазону \(x\):

Функция ограничена интервалом \([-5, 0]\), поэтому мы рассматриваем только этот интервал.

4. Найдем значения функции в крайних точках и в критических точках:

- В точке \(x = -5\): \(y(-5) = (-5)^2 + 4(-5) + 13 = 25 - 20 + 13 = 18\) - В точке \(x = -2\) (критическая точка): \(y(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 13 = 4 - 8 + 13 = 9\) - В точке \(x = 0\): \(y(0) = 0^2 + 4(0) + 13 = 13\)

Таким образом, область значений функции на интервале \([-5, 0]\) будет от 9 до 18 включительно, так как эти значения соответствуют минимуму и максимуму функции на этом интервале.