Question

Решите логарифмическое неравенство!! log 3(x^2-9)-3log3 x+3/x-3>2

Answer 1

ОДЗ:
{x²-9>0;
{(x+3)/(x-3)>0

x∈(-∞;-3)U(3;+∞)

log₃(x²-9)-log₃((x+3)/(x-3))³>log₃3²;
log₃(x²-9)(x-3)³/(x+3)³>log₃9.
Логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

(x-3)⁴/(x+3)²>9
((x-3)⁴-9(x+3)²)/(x+3)²>0;
((x-3)²-3(x+3))·((x-3)²+3(x+3))>0;
(x²-9x)·(x²-3x+18)>0,  так как х²-3х+18>0 при любом х, D=9-4·18<0, то
x²-9x>0
х(х-9)>0
х<0 или  х>9
C учетом ОДЗ получаем ответ.

\\\\\\\\(-3)                (3)______(9)///////////
О т в е т. x∈(-∞;-3)U(9;+∞)

Answer 2

Давайте решим это логарифмическое неравенство поэтапно.

Первым шагом будет приведение логарифмов к общему основанию. Мы знаем, что логарифмы с одинаковым основанием можно сложить или вычесть. В данном случае, основание логарифмов равно 3, поэтому мы можем преобразовать неравенство следующим образом:

log3(x^2-9) - 3log3(x+3)/(x-3) > 2

Теперь давайте рассмотрим каждую часть отдельно.

1. Логарифм первого слагаемого:

log3(x^2-9)

У нас есть логарифм с основанием 3 и аргументом (x^2-9). Чтобы решить это неравенство, мы можем применить свойство логарифма, которое гласит, что loga(b) > c эквивалентно b > a^c. Применяя это свойство, мы получаем:

x^2-9 > 3^2

x^2-9 > 9

x^2 > 18

Теперь, чтобы найти значения x, мы должны взять квадратный корень из обеих частей, но при этом не забывайте учесть, что логарифм определен только для положительных чисел. Поэтому мы получаем:

x > sqrt(18)

x > 3sqrt(2)

2. Логарифм второго слагаемого:

3log3(x+3)/(x-3)

Теперь давайте рассмотрим логарифм второго слагаемого. В данном случае, у нас есть логарифм с основанием 3 и аргументом (x+3)/(x-3). Аналогично первому слагаемому, мы можем применить свойство логарифма, чтобы решить это неравенство.

3log3(x+3)/(x-3) > 2

(x+3)/(x-3) > 3^(2/3)

(x+3)/(x-3) > 3^(2/3)

Теперь мы можем рассмотреть два возможных случая:

Случай 1: x > 3

Если x > 3, то знаменатель (x-3) будет положительным числом. В этом случае мы можем умножить обе части неравенства на (x-3) без изменения направления неравенства:

(x+3) > 3^(2/3) * (x-3)

Рассмотрим каждую часть по отдельности:

(x+3) > 3^(2/3) * (x-3)

x + 3 > 3^(2/3) * x - 3 * 3^(2/3)

x + 3 > 3^(2/3) * x - 3 * 3^(2/3)

2 * 3^(2/3) * x > 3 * 3^(2/3) - 3

2 * 3^(2/3) * x > 3 * (3^(2/3) - 1)

Теперь мы можем разделить обе части неравенства на коэффициент при x:

x > 3 * (3^(2/3) - 1) / (2 * 3^(2/3))

Случай 2: x < 3

Если x < 3, то знаменатель (x-3) будет отрицательным числом. В этом случае мы должны поменять знак неравенства и умножить обе части неравенства на (x-3), что приведет к изменению направления неравенства:

(x+3) < 3^(2/3) * (x-3)

Рассмотрим каждую часть по отдельности:

(x+3) < 3^(2/3) * (x-3)

x + 3 < 3^(2/3) * x - 3 * 3^(2/3)

x + 3 < 3^(2/3) * x - 3 * 3^(2/3)

2 * 3^(2/3) * x < 3 * 3^(2/3) - 3

2 * 3^(2/3) * x < 3 * (3^(2/3) - 1)

Теперь мы можем разделить обе части неравенства на коэффициент при x:

x < 3 * (3^(2/3) - 1) / (2 * 3^(2/3))

Таким образом, мы получили два набора решений для данного логарифмического неравенства:

x > 3sqrt(2)

или

x < 3 * (3^(2/3) - 1) / (2 * 3^(2/3))

Однако, для полной уверенности в правильности решения, рекомендуется проверить найденные значения x, подставив их обратно в исходное неравенство и убедившись, что они удовлетворяют неравенству.