Question

A+b+c=π sin2a+sin2b+sin2c=j найдите sin4a+sin4b+sin4c

Answer 1

$A+B+C=\pi \quad \Rightarrow \quD A+B=\pi -C\\\\sin2A\cdot sin2B\cdot sin2C=j$

$\underbrace {sin4A+sin4B}+sin4C=2sin \frac{4A+4B}{2}\cdot cos \frac{4A-4B}{2}+sin4C=\\\\=2sin(2A+2B)\cdot cos(2A-2B)+sin4C=\\\\=[\; A+B=\pi -C\; \; \Rightarrow \; \; 2A+2B=2\pi -2C\; ,\\\\sin(2A+2B)=sin(2\pi -2C)=-sin2C \; ]=\\\\=2\cdot (-sin2C)\cdot cos(2A-2B)+2sin2C\cdot cos2C=\\\\=2sin2C\cdot \Big (cos2C-cos(2A-2B)\Big )=\\\\=2sin2C\cdot (-2)\cdot sin \frac{2C+2A-2B}{2}\cdot sin \frac{2C-2A+2B}{2}=\\\\=-4sin2C\cdot sin(C+A-B)\cdot sin(C-A+B)=$

$=[\; A+B+C=\pi \; \; \; \; \Rightarrow \\\\C+A-B=(A+B+C)-2B=\pi -2B\\\\C-A+B=(A+B+C)-2A=\pi -2A\; ]=\\\\=-4sin2C\cdot sin(\pi -2B)\cdot sin(\pi -2A)=\\\\=-4\cdot sin2C\cdot sin2B\cdot sin2A\\\\sin4A\cdot sin4B\cdot sin4C=-4\cdot sin2A\cdot sin2B\cdot sin2C=-4j$

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение и найти значения sin(4a), sin(4b) и sin(4c), мы должны использовать тригонометрические тождества и свойства синуса.

Первоначально, данное уравнение выглядит следующим образом: a + b + c = π + sin(2a) + sin(2b) + sin(2c) + j

Давайте преобразуем это уравнение, используя тригонометрические тождества:

sin(2a) = 2sin(a)cos(a) sin(2b) = 2sin(b)cos(b) sin(2c) = 2sin(c)cos(c)

Теперь уравнение примет следующий вид: a + b + c = π + 2sin(a)cos(a) + 2sin(b)cos(b) + 2sin(c)cos(c) + j

Далее, мы можем использовать еще одно тригонометрическое тождество: sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Применим его к уравнению: 2sin(a)cos(a) = sin^2(a) + cos^2(a) = 1

Аналогично, для b и c: 2sin(b)cos(b) = 1 2sin(c)cos(c) = 1

Теперь уравнение примет следующий вид: a + b + c = π + 1 + 1 + 1 + j

Сократим числовые значения: a + b + c = π + 3 + j

Теперь мы можем найти значения sin(4a), sin(4b) и sin(4c). Согласно тригонометрическим формулам, мы знаем, что: sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x)

Применим это к нашему уравнению: sin(4a) = 2sin(2a)cos(2a) sin(4b) = 2sin(2b)cos(2b) sin(4c) = 2sin(2c)cos(2c)

Мы уже вывели ранее, что sin(2a) = 2sin(a)cos(a), sin(2b) = 2sin(b)cos(b) и sin(2c) = 2sin(c)cos(c). Подставим эти значения: sin(4a) = 2(2sin(a)cos(a))(cos^2(a) - sin^2(a)) sin(4b) = 2(2sin(b)cos(b))(cos^2(b) - sin^2(b)) sin(4c) = 2(2sin(c)cos(c))(cos^2(c) - sin^2(c))

Таким образом, мы получили формулы для нахождения sin(4a), sin(4b) и sin(4c) в зависимости от значений a, b и c.