Question

Z= ln(3x+y) найти производные первого и второго порядка.

Answer 1

Первого порядка
$\frac{\partial z}{\partial x}= \frac{1}{3x+y} *3=\frac{3}{3x+y} ;\\ \frac{\partial z}{\partial y}= \frac{1}{3x+y} *1=\frac{1}{3x+y} .$
Второго порядка
$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}= -\frac{3}{(3x+y)^2} *3=-\frac{9}{(3x+y)^2}; \\ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}= -\frac{1}{(3x+y)^2} *1=-\frac{1}{(3x+y)^2}; \\ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}= -\frac{3}{(3x+y)^2} *1=-\frac{3}{(3x+y)^2}; \\ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}= -\frac{1}{(3x+y)^2} *3=-\frac{3}{(3x+y)^2}$

Answer 2

Давайте найдем производные функции \(Z\) по переменным \(x\) и \(y\) первого и второго порядка.

Имеем функцию \(Z = \ln(3x + y)\).

Нахождение частных производных первого порядка:

1. По \(x\):

Для нахождения производной по \(x\) мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Пусть \(u = 3x + y\), а затем \(Z = \ln(u)\).

Применяя цепное правило, производная \(\frac{dZ}{dx}\) будет равна произведению производной \(\frac{dZ}{du}\) и производной \(\frac{du}{dx}\):

\(\frac{dZ}{du} = \frac{1}{u}\), \(\frac{du}{dx} = 3\).

Теперь перемножим эти значения:

\(\frac{dZ}{dx} = \frac{dZ}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{3x + y} \cdot 3 = \frac{3}{3x + y}\).

2. По \(y\):

Снова используем цепное правило, только на этот раз дифференцируем по переменной \(y\).

\(\frac{dZ}{dy} = \frac{dZ}{du} \cdot \frac{du}{dy}\).

\(\frac{dZ}{du} = \frac{1}{u}\), \(\frac{du}{dy} = 1\).

\(\frac{dZ}{dy} = \frac{dZ}{du} \cdot \frac{du}{dy} = \frac{1}{3x + y} \cdot 1 = \frac{1}{3x + y}\).

Нахождение частных производных второго порядка:

1. По \(x\):

Для вычисления второй производной по \(x\) берем производную \(\frac{dZ}{dx}\), полученную ранее, и дифференцируем её по \(x\) снова:

\(\frac{d^2Z}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{3x + y}\right)\).

Здесь используем правило дифференцирования частного и цепное правило.

\(\frac{d^2Z}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{3x + y}\right) = -\frac{3}{(3x + y)^2} \cdot 3 = -\frac{9}{(3x + y)^2}\).

2. По \(y\):

Аналогично, возьмем производную \(\frac{dZ}{dy}\) и продифференцируем её по \(y\):

\(\frac{d^2Z}{dy^2} = \frac{d}{dy}\left(\frac{1}{3x + y}\right)\).

Производная константы равна нулю, поэтому:

\(\frac{d^2Z}{dy^2} = -\frac{1}{(3x + y)^2} \cdot 1 = -\frac{1}{(3x + y)^2}\).

3. Смешанная производная \(\frac{d^2Z}{dxdy}\):

Для нахождения смешанной производной сначала возьмем производную \(\frac{dZ}{dx}\) и затем продифференцируем её по \(y\):

\(\frac{d}{dy}\left(\frac{dZ}{dx}\right) = \frac{d}{dy}\left(\frac{3}{3x + y}\right) = \frac{3}{(3x + y)^2} \cdot 1 = \frac{3}{(3x + y)^2}\).

Таким образом, имеем:

\(\frac{d^2Z}{dxdy} = \frac{3}{(3x + y)^2}\).

Это значения первых и вторых частных производных функции \(Z\) по переменным \(x\) и \(y\).