Question

Помогите решить! arctg x = arccos x

Answer 1

Множество значений арккосинуса есть ∈[0;π]
Множество  значений акстангенса ∈[-π/2; π/2]
для равенства они должны принимать значения в общем промежутке:
[0; π/2), при этом Х может принимать значения из отрезка  [-1;1]
Два числа из промежутка  [0; π/2)   ( в этом промежутке сosx>0)
 равны только тогда, когда равны их косинусы и исходное уравнение равносильно уравнению:
cos(arctgx)=cos(arccosx)
Левая часть:
сos(arctgx)=√(1/(1+tg²(arctgx)))=√(1/(1+x²))
Правая часть:
сos(arc cosx)=x
Получаем уравнение:
х=√( 1/(1+х²) )
x²=1/(1+x²)
x^4 +x² -1=0    y=x²
y²+y-1=0
D=1+4=5
y1=(-1+√5)/2                             (  y2=(-1-√5)/2   x2 - нет дейст. реш.)
x1=√((√5-1)/2)  >0    (x2=-√... <-1  ∉[-1;1])
ответ  √((√5-1)/2)

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение \(\arctan(x) = \arccos(x)\) и попробуем его решить.

Напомним, что \(\arctan(x)\) - это обратная тригонометрическая функция тангенса, а \(\arccos(x)\) - обратная функция косинуса.

Для начала, давайте рассмотрим область определения каждой из этих функций:

- Для \(\arctan(x)\): \(-\infty < x < \infty\) - Для \(\arccos(x)\): \(-1 \leq x \leq 1\)

Таким образом, чтобы уравнение имело смысл, \(x\) должен принадлежать интервалу \([-1, 1]\).

Теперь давайте преобразим уравнение. Используем факт, что \(\arctan(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}\) для всех допустимых значений \(x\). Это следует из того, что тангенс и косинус дополняют друг друга до \(\frac{\pi}{2}\) в общем треугольнике.

Таким образом, у нас есть уравнение:

\(\arctan(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}\)

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(x\).

Перепишем \(\arctan(x)\) в виде \(\frac{\pi}{2} - \arccos(x)\).

\(\frac{\pi}{2} - \arccos(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}\)

Отсюда следует, что \(\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}\), что всегда верно.

Таким образом, уравнение \(\arctan(x) = \arccos(x)\) имеет решение для всех \(x\) в интервале \([-1, 1]\).