Question

Log3(5х – 6) - log72= 3; log0,5 (2х + 1) = -2; log2 (4-2x) + log23= 1; log7(x-l)=log72 + log73; 1 ≤7х-3<49; log2 (1 - 2х) < 0; lg (0,5x - 4) < 2; log0,2 (2х+3) ≥ -3;

Answer 1

2) log0,5_(2x+1) = - 2;
- log2_(2x+1) = - 2;
log2_(2x+1) = 2;
2x+ 1= 2^2;
2x = 3;
 x= 1,5.

3)log2_(4 - 2x) + log2_3 = 1;
log2_((4-2x)*3 = 1;
log2_(12 - 6x) = 1;
12 - 6x = 2^1;
 12 - 6x = 2;
- 6x = -10;
x = 10/6= 5/3.

4) log7_(x-1) = log7_2 + log7_3;
log7_(x-1) = log7_(2*3);
x - 1 = 6;
 x = 7.

5)1 ≤ 7x - 3 < 49;       +3 
1 + 3 ≤ 7x < 49 + 3;
4 ≤ 7x < 52;
4/7 ≤ x < 52/7.

6) log2_(1 - 2x) < 0;
log2_(1 - 2x) < log2_1;
2 > 1; ⇒ 1 - 2x < 1;
- 2x < 1 - 1;
 - 2x < 0;     /-2 < 0;
x > 0
7) lg(0,5 x - 4) < 2;
lg(0,5x  - 4) <lg100;
0,5x  - 4 < 100;
0,5 x  <  104;                  * 2>0;
x < 208
8) log0,2_(2x+3) ≥ - 3;           0,2 = 1/5 = 5^(-1);
- log5_(2x + 3) ≥  - 3;           /-1 <0;
log5_(2x + 3) ≤ 3;
log5_(2x+3) ≤ log5_125;
5 > 1; ⇒ 2x + 3 ≤ 125;
              2 x ≤ 122;
               x ≤ 61.
В первом задании не понятно условие.

Answer 2

Давайте по порядку разберем каждое уравнение:

1. Уравнение: $\log_3(5x-6) - \log_7 2 = 3$

Для начала, применим свойства логарифмов. Мы можем объединить два логарифма с одинаковым основанием в один логарифм с помощью свойства разности логарифмов:

$\log_3 \left(\frac{5x-6}{2}\right) = 3$

Затем, преобразуем уравнение в экспоненциальную форму:

$3^3 = \frac{5x-6}{2}$

$27 = \frac{5x-6}{2}$

Теперь, решим уравнение для $x$:

$5x-6 = 54$

$5x = 60$

$x = 12$

Таким образом, решением данного уравнения является $x = 12$.

2. Уравнение: $\log_{0.5}(2x + 1) = -2$

Применим свойства логарифмов:

$2x + 1 = 0.5^{-2}$

$2x + 1 = 4$

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2}$

Решением данного уравнения является $x = \frac{3}{2}$.

3. Уравнение: $\log_2(4-2x) + \log_2 3 = 1$

Применим свойства логарифмов:

$\log_2(4-2x) \cdot 3 = 1$

$3 \log_2(4-2x) = 1$

Теперь, преобразуем уравнение в экспоненциальную форму:

$2^{3 \log_2(4-2x)} = 2^1$

$2^{3 \log_2(4-2x)} = 2$

$4-2x = 2$

$-2x = -2$

$x = 1$

Решением данного уравнения является $x = 1$.

4. Уравнение: $\log_7(x-1) = \log_7 2 + \log_7 3$

Используя свойство суммы логарифмов:

$\log_7(x-1) = \log_7 (2 \cdot 3)$

$\log_7(x-1) = \log_7 6$

Таким образом, у нас получается, что $(x-1) = 6$.

$x = 7$

Решением данного уравнения является $x = 7$.

5. Неравенство: $1 \leq 7x-3 < 49$

Для начала, добавим 3 к каждой части неравенства:

$4 \leq 7x < 52$

Затем, разделим каждую часть неравенства на 7:

$\frac{4}{7} \leq x < \frac{52}{7}$

$x$ должно находиться в диапазоне от $\frac{4}{7}$ (включительно) до $\frac{52}{7}$ (исключительно).

Таким образом, решением данного неравенства является $x \in \left[\frac{4}{7}, \frac{52}{7}\right)$.

6. Неравенство: $\log_2(1 - 2x) < 0$

Для начала, применим свойства логарифмов:

$1 - 2x > 2^0$

$1 - 2x > 1$

$-2x > 0$

$x < 0$

Решением данного неравенства является $x < 0$.

7. Неравенство: $\log_{0.2}(2x+3) \geq -3$

Применим свойства логарифмов:

$2x + 3 \geq 0.2^{-3}$

$2x + 3 \geq 125$

$2x \geq 122$

$x \geq \frac{122}{2}$

$x \geq 61$

Решением данного неравенства является $x \geq 61$.