Question

Неравенство помогите решить!! (x-2)(x+1)^2 /-x < 0

Answer 1

При переходе через кратный корень (четной степени)))
функция знак НЕ меняет...

Answer 2

Давайте решим данное неравенство шаг за шагом.

Неравенство: (x-2)(x+1)^2 - x < 0

1. Раскроем скобки в выражении (x+1)^2. Получим: (x-2)(x^2 + 2x + 1) - x < 0

2. Распространим умножение скобок: (x^3 + 2x^2 + x - 2x^2 - 4x - 2) - x < 0

3. Сократим подобные слагаемые: x^3 - 3x - 2 < 0

Теперь у нас есть кубическое неравенство, и нам нужно найти значения x, при которых неравенство выполняется.

Чтобы решить это неравенство, мы можем использовать метод интервалов. Для этого мы должны найти корни уравнения x^3 - 3x - 2 = 0 и построить знаковую таблицу, чтобы определить значения x, при которых неравенство выполняется.

Нахождение корней уравнения x^3 - 3x - 2 = 0

Для нахождения корней мы можем воспользоваться различными методами, такими как метод Ньютона или метод деления пополам. Однако, в данном случае корни можно найти аналитически.

1. Подберем целочисленный корень. Подставим некоторые значения x (обычно начинают с маленьких чисел) и проверим, являются ли они корнями уравнения. Попробуем x = -2: (-2)^3 - 3(-2) - 2 = -8 + 6 - 2 = -4 Значение не равно нулю, поэтому x = -2 не является корнем.

2. Теперь попробуем x = -1: (-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0 Значение равно нулю, поэтому x = -1 является одним из корней уравнения.

3. Разделим исходное уравнение на (x + 1): x^3 - 3x - 2 = (x + 1)(x^2 - x - 2) = 0

4. Решим квадратное уравнение x^2 - x - 2 = 0: (x - 2)(x + 1) = 0

Получаем два корня: x = 2 и x = -1.

Таким образом, корни уравнения x^3 - 3x - 2 = 0 равны x = -1, x = 2.

Построение знаковой таблицы

Теперь, когда мы знаем корни уравнения, мы можем построить знаковую таблицу. Мы будем проверять знак выражения x^3 - 3x - 2 в каждом интервале, образованном корнями.

| Интервал | -∞ | -1 | 2 | +∞ | |:-----------:|:----------:|:----------:|:---------:|:---------:| | x^3 - 3x - 2 | - | 0 | - | + |

Теперь мы можем определить значения x, при которых неравенство (x-2)(x+1)^2 - x < 0 выполняется.

Решение неравенства

Исходное неравенство: (x-2)(x+1)^2 - x < 0

Посмотрим на знак выражения x^3 - 3x - 2 в каждом интервале:

- На интервале (-∞, -1) выражение x^3 - 3x - 2 < 0, так как знак отрицательный. - На интервале (-1, 2) выражение x^3 - 3x - 2 > 0, так как знак положительный. - На интервале (2, +∞) выражение x^3 - 3x - 2 < 0, так как знак отрицательный.

То есть, неравенство выполняется на интервалах (-∞, -1) и (2, +∞).

Ответ: Решением данного неравенства является множество значений x, принадлежащих интервалам (-∞, -1) и (2, +∞).