Question

Log2 x+log2 (x-1) < либо = 1

Answer 1

Log2(x^2-x)</=log2(2)
x^2-x-2=0
D=1+8=9
X1=(1-3)/2=-1 (не подходит)
Х2=(1+3)/2=2

Answer 2

ОДЗ х>0 , x-1>0 x>1⇒ x>1
㏒₂(x)+ ㏒₂(x-1) ≤1

㏒₂(x*(x-1)) ≤ 1
㏒₂(x²-x)≤1
x²-x ≤ 2¹
x²-x-2≤0
x²-x-2=0
D=1+8=9 √D=3
x₁=(1+3)/2=2
x₂=(1-3)/2=-1 не подходит под ОДЗ
       -         +     
---1---2--------------- 
х∈(1;2]

Answer 3

Давайте решим неравенство \( \log_2{x} + \log_2{(x-1)} \leq 1 \).

Первым шагом объединим логарифмы с использованием свойства логарифмов:

\[ \log_2{x} + \log_2{(x-1)} = \log_2{x(x-1)} \]

Теперь у нас есть уравнение:

\[ \log_2{x(x-1)} \leq 1 \]

Теперь преобразим логарифмическое уравнение в экспоненциальное, используя определение логарифма:

\[ 2^{\log_2{x(x-1)}} \leq 2^1 \]

\[ x(x-1) \leq 2 \]

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[ x^2 - x \leq 2 \]

\[ x^2 - x - 2 \leq 0 \]

Теперь факторизуем квадратное уравнение:

\[ (x-2)(x+1) \leq 0 \]

Теперь определим интервалы, где это неравенство выполняется. Для этого рассмотрим знак выражения \( (x-2)(x+1) \) на каждом интервале:

1. Если \( x < -1 \), то оба множителя отрицательны, и произведение положительно. 2. Если \( -1 < x < 2 \), то первый множитель отрицателен, а второй - положителен, и произведение отрицательно. 3. Если \( x > 2 \), то оба множителя положительны, и произведение положительно.

Таким образом, решение неравенства \( x^2 - x - 2 \leq 0 \) это:

\[ -1 \leq x \leq 2 \]

Однако, мы должны убедиться, что логарифмы в изначальном выражении определены. Так как у нас есть \(\log_2{x}\) и \(\log_2{(x-1)}\), оба логарифма определены только для положительных значений аргументов. Поэтому мы также должны учесть это:

\[ x > 0 \] \[ x - 1 > 0 \]

Отсюда следует, что \( x > 1 \).

Таким образом, окончательное решение неравенства \( \log_2{x} + \log_2{(x-1)} \leq 1 \):

\[ 1 < x \leq 2 \]

Пожалуйста, учтите, что при решении логарифмических уравнений и неравенств всегда нужно проверять область допустимых значений переменных.