Question

Решить уравнение: √3sin^2x+0,5sin⁡(π+2x)=0

Answer 1

√3sin²x-0,5sin2x=0
√3sin²x-sinxcosx=0
sinx(√3sinx-cosx)=0
sinx=0⇒x=πn,n∈z
√3sinx-cosx=0
2(√3/2sinx-1/2cosx)=0
2sin(x-π/6)=0
x-π/6=πk
x=π/6+πk,k∈z

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

\[ \sqrt{3}\sin^2x + 0.5\sin(\pi + 2x) = 0 \]

Для начала рассмотрим второй член в уравнении: \( 0.5\sin(\pi + 2x) \). Используем тригонометрический тождественный закон для суммы углов:

\[ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \]

В данном случае, у нас \(\alpha = \pi\) и \(\beta = 2x\). Подставим значения:

\[ \sin(\pi + 2x) = \sin\pi\cos(2x) + \cos\pi\sin(2x) \]

Так как \(\sin\pi = 0\) и \(\cos\pi = -1\), у нас остается:

\[ \sin(\pi + 2x) = -\sin(2x) \]

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

\[ \sqrt{3}\sin^2x - 0.5\sin(2x) = 0 \]

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить. Для удобства обозначим \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ \sqrt{3}y^2 - 0.5(2y) = 0 \]

Упростим его:

\[ \sqrt{3}y^2 - y = 0 \]

Факторизуем:

\[ y(\sqrt{3}y - 1) = 0 \]

Таким образом, получаем два возможных значения \( y \):

1. \( y = 0 \) 2. \( \sqrt{3}y - 1 = 0 \) (т.е., \( y = \frac{1}{\sqrt{3}} \))

Теперь вернемся к исходной переменной \( x \).

1. Если \( y = \sin x = 0 \), то \( x = k\pi \), где \( k \) - целое число. 2. Если \( y = \frac{1}{\sqrt{3}} \), то \( x = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + 2\pi k \) и \( x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + 2\pi k \), где \( k \) - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения:

\[ x = k\pi \] \[ x = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + 2\pi k \] \[ x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + 2\pi k \]

где \( k \) - целое число.