Question

Помогите решить неравенство: 1)log2(-x)+log2(1-x)< или равно 1 2)log3(x-2)+log3(x-10)> или равно 2

Answer 1

1)log₂(-x)+log₂(1-x) ≤ 1
log₂(-x)*(1 - x) ≤ 1
x² - x ≤ 2
x² - x - 2 ≤ 0
x₁ = -1
x₂ = 2

     +                 -                  +
----------------------------------------------------->
            -1                     2               x
 x∈[-1;2]      

2)  log₃(x - 2) + log₃(x - 10) ≥ 2
 log₃(x - 2)*(x - 10) ≥ 2
3 ≥ 1
(x - 2)*(x - 10) ≥ 9
x² - 12x + 11 ≥ 0
x₁ = 1
x₂ = 11


       +                      -                        +
----------------------------------------------------------------->
               1                              11               x
x∈(- ≈ ; 1] [11 ; + ≈)

Answer 2

1) Для решения неравенства log2(-x) + log2(1-x) ≤ 1, сначала обратим внимание на ограничения для аргументов логарифмов. Так как логарифм отрицательного числа не определен, то -x > 0, что приводит к условию x < 0. Также, из-за знаменателя во втором логарифме, должно быть выполнено условие 1-x > 0, что приводит к условию x < 1.

Теперь рассмотрим само неравенство. Используем свойство логарифма log(a) + log(b) = log(a*b), чтобы объединить логарифмы:

log2(-x * (1-x)) ≤ 1

Упростим выражение внутри логарифма:

-x * (1-x) ≤ 2

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

-x + x^2 ≤ 2

Получили квадратное уравнение. Перенесем все слагаемые влево:

x^2 - x - 2 ≤ 0

Решим это уравнение с помощью факторизации:

(x-2)(x+1) ≤ 0

Теперь рассмотрим знаки каждого множителя:

x-2 ≤ 0 и x+1 ≥ 0

Решим каждое неравенство отдельно:

x ≤ 2 и x ≥ -1

Таким образом, решением исходного неравенства является интервал (-∞, -1] ∪ (2, 0).

2) Для решения неравенства log3(x-2) + log3(x-10) ≥ 2, сначала обратим внимание на ограничения для аргументов логарифмов. Так как логарифм отрицательного числа не определен, то x-2 > 0 и x-10 > 0, что приводит к условиям x > 2 и x > 10.

Теперь рассмотрим само неравенство. Используем свойство логарифма log(a) + log(b) = log(a*b), чтобы объединить логарифмы:

log3((x-2) * (x-10)) ≥ 2

Упростим выражение внутри логарифма:

(x-2) * (x-10) ≥ 3^2

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

x^2 - 12x + 20 ≥ 9

Перенесем все слагаемые влево:

x^2 - 12x + 11 ≥ 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-12)^2 - 4 * 1 * 11 = 144 - 44 = 100

D > 0, поэтому уравнение имеет два корня:

x1 = (-(-12) + √100) / 2 = (12 + 10) / 2 = 11 x2 = (-(-12) - √100) / 2 = (12 - 10) / 2 = 1

Теперь рассмотрим знаки выражения x^2 - 12x + 11 на интервалах:

x < 1: выражение < 0 1 < x < 11: выражение > 0 x > 11: выражение > 0

Таким образом, решением исходного неравенства является интервал (1, 11] ∪ (10, +∞).