Question

Найдите критические точки функции y=x^3+6x^2-15x-3

Answer 1

Y' = 3x^2 + 12x - 15 
y' = 0 

3x^2  + 12x - 15 = 0  / :3
x^2 + 4x - 5 = 0 
D = 16 + 4*5 = 16 + 20 = 36
x1 = ( - 4 + 6)/2 = 1;
x2 = ( - 4 - 6)/2 = - 5

1; - 5 - критические точки 

Answer 2

Чтобы найти критические точки функции \(y = x^3 + 6x^2 - 15x - 3\), нужно найти её производную и решить уравнение \(f'(x) = 0\).

1. Находим производную \(f'(x)\): \[f'(x) = 3x^2 + 12x - 15\]

2. Решаем уравнение \(f'(x) = 0\): \[3x^2 + 12x - 15 = 0\]

Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта или методом полного квадрата. Давайте воспользуемся дискриминантом:

Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где у нас уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\).

В данном случае: \[a = 3, \quad b = 12, \quad c = -15\]

Вычислим дискриминант: \[D = 12^2 - 4(3)(-15)\]

\[D = 144 + 180\]

\[D = 324\]

Теперь используем найденный дискриминант, чтобы найти корни уравнения: \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[x_{1,2} = \frac{-12 \pm \sqrt{324}}{2 \times 3}\]

\[x_{1,2} = \frac{-12 \pm 18}{6}\]

Получаем два корня: \[x_1 = \frac{6}{3} = 2\]

\[x_2 = \frac{-30}{3} = -10\]

3. Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для этих \(x\) в исходной функции. Подставим \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -10\) в \(y = x^3 + 6x^2 - 15x - 3\):

Для \(x = 2\): \[y_1 = 2^3 + 6 \times 2^2 - 15 \times 2 - 3 = 8 + 24 - 30 - 3 = -1\]

Для \(x = -10\): \[y_2 = (-10)^3 + 6 \times (-10)^2 - 15 \times (-10) - 3 = -1000 + 600 + 150 - 3 = -253\]

Таким образом, у функции \(y = x^3 + 6x^2 - 15x - 3\) есть две критические точки: \((2, -1)\) и \((-10, -253)\).