Question

Вычислите интегралы, заранее благодарен!1) от П до -П (2sinx-1\3cosx\3)dx2) от 1 до 0 (8\корень из 8х+1 +х)dxPS очень бы хотелось с фотографией решений)) если что, могу помочь с химией.

Answer 1

Надеюсь в латексе решение сойдет

$1) \int\limits^{\pi}_{-\pi}(2sinx-\frac{1}{3}cos\frac{x}{3})dx=2*(-cosx)-\frac{1}{3}sin\frac{x}{3}*3=\\ =( -2cosx-sin\frac{x}{3})|\limits^{\pi}_{-\pi}=(-2cos\pi-sin\frac{\pi}{3})-(-2cos(-\pi)-\\ -sin(\frac{-\pi}{3}))=2-\frac{\sqrt3}{2}-(-2*(-1)-(-\frac{\sqrt3}{2}))=\\ =2-\frac{\sqrt3}{2}-2-\frac{\sqrt3}{2} = -\sqrt3$

 

$2)\int\limits^1_0(8\sqrt{(8x+1)}+x)dx=\int\limits^1_0(8(8x+1)^{\frac{1}{2}}+x)dx=\\ =\frac{8(8x+1)^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}*8}+\frac{x^2}{2}=(\frac{2(8x+1)^\frac{3}{2}}{3}+\frac{x^2}{2})|\limits^1_0=\\ =\frac{2(8+1)^\frac{3}{2}}{3}+\frac{1}{2}-(\frac{2(0+1)^\frac{3}{2}}{3}+0)=\\ =18+\frac{1}{2}-\frac{2}{3}=17\frac{5}{6}$

Answer 2

Извините, но я не могу предоставить фотографии решений, так как не имею возможности визуально представлять информацию. Однако я помогу вам с вычислением этих интегралов.

1) Вычислим интеграл от \(2\sin(x) - \frac{1}{3}\cos(x)\) по \(x\) от \(-\pi\) до \(\pi\):

\(\int_{-\pi}^{\pi} \left(2\sin(x) - \frac{1}{3}\cos(x)\right)dx\)

Используем формулы интеграла от синуса и косинуса:

\(\int \sin(x)dx = -\cos(x) + C\)

\(\int \cos(x)dx = \sin(x) + C\)

Теперь произведем вычисления:

\(\int_{-\pi}^{\pi} 2\sin(x)dx - \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{3}\cos(x)dx\)

\(-2\left[\cos(x)\right]_{-\pi}^{\pi} - \frac{1}{3}\left[\sin(x)\right]_{-\pi}^{\pi}\)

При подстановке верхнего и нижнего пределов интегрирования угловые функции принимают следующие значения:

\(-2(\cos(\pi) - \cos(-\pi)) - \frac{1}{3}(\sin(\pi) - \sin(-\pi))\)

Так как \(\cos(-\pi) = \cos(\pi)\) и \(\sin(-\pi) = -\sin(\pi)\), получаем:

\(-2(\cos(\pi) - \cos(\pi)) - \frac{1}{3}(\sin(\pi) + \sin(\pi))\)

\(-2(1 - 1) - \frac{1}{3}(0 + 0)\)

\(-2 \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 = 0\)

Таким образом, интеграл от \(2\sin(x) - \frac{1}{3}\cos(x)\) по \(x\) от \(-\pi\) до \(\pi\) равен нулю.

2) Теперь рассмотрим интеграл от \(\frac{8}{\sqrt{8x+1}+x}\) по \(x\) от 1 до 0:

\(\int_{1}^{0} \frac{8}{\sqrt{8x+1}+x}dx\)

Здесь можно сделать замену переменной, чтобы решить этот интеграл. Пусть \(u = 8x + 1\), тогда \(du = 8dx\), откуда \(dx = \frac{du}{8}\), а также изменятся пределы интегрирования.

Когда \(x = 1\), \(u = 8 \cdot 1 + 1 = 9\), а когда \(x = 0\), \(u = 8 \cdot 0 + 1 = 1\).

Теперь интеграл преобразуется:

\(\int_{9}^{1} \frac{8}{\sqrt{u}+\frac{u-1}{8}} \cdot \frac{du}{8}\)

Упростим выражение под знаком интеграла:

\(\int_{9}^{1} \frac{1}{\sqrt{u}+\frac{u-1}{8}} du\)

Разложим дробь на две части:

\(\int_{9}^{1} \frac{1}{\sqrt{u}} - \frac{1}{8} du\)

Интегрируем каждую часть по отдельности:

\(\left[2\sqrt{u} - \frac{u}{8}\right]_{9}^{1}\)

Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования:

\(2\sqrt{1} - \frac{1}{8} - \left(2\sqrt{9} - \frac{9}{8}\right)\)

\(2 - \frac{1}{8} - 6 + \frac{9}{8}\)

\(2 - 6 + \frac{9}{8} - \frac{1}{8}\)

\(-4 + \frac{9}{8} - \frac{1}{8}\)

\(-4 + \frac{8}{8} = -4 + 1 = -3\)

Итак, интеграл от \(\frac{8}{\sqrt{8x+1}+x}\) по \(x\) от 1 до 0 равен \(-3\).