Question

Вычислить производные функций: y = 3tgx ctgx; y = e^ sin x;

Answer 1

$1)\; \; y=3tgx\cdot ctgx=3\cdot 1=3\; \; \; \; \to \; \; \; \; y'=0\\\\\\2)\; \; y=e^{sinx}\\\\y'=e^{sinx}\cdot (sinx)'=e^{sinx}\cdot cosx$

Answer 2

Для вычисления производных данных функций мы можем использовать правила дифференцирования, которые позволяют нам найти производную функции по ее аргументу. Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности и вычислим их производные.

Функция y = 3tg(x) + ctg(x)

Для начала, давайте заменим тангенс и котангенс через синус и косинус:

tg(x) = sin(x) / cos(x) ctg(x) = cos(x) / sin(x)

Теперь наша функция становится:

y = 3 * (sin(x) / cos(x)) + (cos(x) / sin(x))

Для удобства вычислений, мы можем объединить эти две дроби в одну:

y = (3sin(x) * sin(x) + cos(x) * cos(x)) / (cos(x) * sin(x))

Далее, мы можем упростить числитель:

y = (3sin^2(x) + cos^2(x)) / (cos(x) * sin(x))

Теперь мы можем вычислить производную этой функции. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования для частного функций:

d/dx (f(x) / g(x)) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g(x))^2

Применяя это правило, мы получаем:

y' = [(6sin(x) * cos(x) - 2sin(x) * cos(x)) * (cos(x) * sin(x)) - (3sin^2(x) + cos^2(x)) * (cos^2(x) - sin^2(x))] / (cos(x) * sin(x))^2

После упрощения выражения, мы получаем:

y' = (4sin(x) * cos(x)) / (cos^2(x) * sin^2(x))

Таким образом, производная функции y = 3tg(x) + ctg(x) равна (4sin(x) * cos(x)) / (cos^2(x) * sin^2(x)).

Функция y = e^(sin(x))

Для вычисления производной этой функции, мы можем использовать цепное правило дифференцирования. Согласно этому правилу, производная сложной функции равна произведению производной внешней функции и производной внутренней функции.

В данном случае, внешняя функция - это функция возведения в экспоненту (e^x), а внутренняя функция - это синус (sin(x)). Таким образом, мы можем записать:

y = e^(sin(x)) y' = d/dx (e^(sin(x))) * d/dx (sin(x))

Производная внешней функции e^x равна самой функции e^x:

d/dx (e^x) = e^x

Производная внутренней функции sin(x) равна косинусу:

d/dx (sin(x)) = cos(x)

Теперь мы можем вычислить производную исходной функции:

y' = e^(sin(x)) * cos(x)

Таким образом, производная функции y = e^(sin(x)) равна e^(sin(x)) * cos(x).

Надеюсь, это помогает! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.