Question

ПРОШУ ПОМОГИТЕ!!!ДАМ 45 БАЛЛОВ!!!При каких целых значениях b является целым числом значение выражения (b-2)^2 + 8b+1 деленное на b

Answer 1

((b - 2)² + 8b + 1)/b = (b² - 4b + 4 + 8b + 1)/b = (b² + 4b + 5)/b = 
= b + 4 + 5/b
При b = -5; -1; 1; 5 значение выражения будет выражаться целым числом (это всё целые делители числа 5).
Ответ: при b = -5; -1; 1; 5. 

Answer 2

Давайте разберемся с этим выражением:

\[ \frac{{(b-2)^2 + 8b + 1}}{{b}} \]

Для того чтобы выражение было целым числом, числитель должен быть кратен знаменателю. Таким образом, для целочисленности значения выражения, мы должны иметь:

\[ (b-2)^2 + 8b + 1 \equiv 0 \pmod{b} \]

Обозначим \( (b-2)^2 + 8b + 1 \) как \( F(b) \). Теперь давайте рассмотрим, при каких значениях \( b \) это значение делится на \( b \):

\[ F(b) \equiv 0 \pmod{b} \]

Раскроем \( F(b) \):

\[ b^2 - 4b + 4 + 8b + 1 \equiv 0 \pmod{b} \]

Упростим:

\[ b^2 + 4b + 5 \equiv 0 \pmod{b} \]

Теперь, учитывая, что \( b \) не может быть равным нулю (деление на \( b \)), мы можем поделить на \( b \):

\[ b + 4 + \frac{5}{b} \equiv 0 \pmod{b} \]

Таким образом, условие для того, чтобы значение выражения было целым числом, это \( b + 4 \) должно быть кратно \( b \).

\( b + 4 \equiv 0 \pmod{b} \)

Так как \( b + 4 \) уже содержит \( b \) внутри себя, это уравнение выполняется для любого значения \( b \). Таким образом, значение выражения

\[ \frac{{(b-2)^2 + 8b + 1}}{{b}} \]

всегда будет целым числом при любом целом значении \( b \).