Question

Решите показательные уравнения: 5ˣ =625 11⁴ˣ⁻³=11⁸ˣ 19ˣ²⁻⁴ˣ⁻²¹=1 5ˣ+5ˣ⁺²=130 5²ˣ-30=5ˣ+125 (2\3)ˣ * (9\8)ˣ=64\27

Answer 1

1) $5^{x} =5^4$
    Ответ: x=4
2) 4x-3=8x
    4x-8x=3
   -4x=3,
    Ответ: x=0.75
3) x²-4x-21=0,  19^0=1
   D/4=4+21=25, √25=5
x₁=4+5=9,  x₂=4-5=-1
Ответ:х₁=9, х₂=-1
4)5^x(1+25)=130
  5^x=130/26
   5^x=5, x=1
ответ: х=1
5) 5^x=y
   y²-30=y+125
   y²-y-155=0
D=1+620=621
y₁=(1+√621)/2
y2=(1-√621)/2
ответ получается плохой, наверно я ни так поняла или описка
6) $(\frac{2*9}{3*8})^x=( \frac{4}{3})^3$
  $( \frac{3}{4})^x= (\frac{4}{3})^3$
x=-3
Ответ: х=-3

Answer 2

Конечно, давайте разберем по порядку каждое уравнение.

1. \(5^x = 625\)

Чтобы решить это уравнение, нам нужно выразить 625 как степень числа 5:

\(625 = 5^4\)

Таким образом, мы получаем:

\(5^x = 5^4\)

Следовательно, \(x = 4\).

2. \(11^{4x-3} = 11^8x\)

Здесь у нас имеется уравнение с одинаковыми основаниями. Используем свойство степеней с одинаковым основанием: если \(a^x = a^y\), то \(x = y\).

Следовательно, \(4x - 3 = 8x\).

Переносим все x на одну сторону:

\(4x - 8x = 3\)

\(-4x = 3\)

\(x = -\frac{3}{4}\)

3. \(19^{x^2 - 4x - 21} = 1\)

\(19^{x^2 - 4x - 21} = 1\) означает, что основание (19) возводится в степень, равную 0 (так как любое число, возведенное в 0, равно 1). Таким образом, \(x^2 - 4x - 21 = 0\).

Это квадратное уравнение. Решим его:

\(x^2 - 4x - 21 = 0\)

\((x - 7)(x + 3) = 0\)

Отсюда получаем два возможных значения \(x\):

\(x - 7 = 0\), следовательно, \(x = 7\),

или

\(x + 3 = 0\), что дает \(x = -3\).

4. \(5^x + 5^{x+2} = 130\)

\(5^x\) и \(5^{x+2}\) оба содержат основание 5. Объединим их:

\(5^x + 5^x * 5^2 = 130\)

\(5^x + 25 * 5^x = 130\)

\(26 * 5^x = 130\)

\(5^x = \frac{130}{26} = 5\)

\(x = 1\)

5. \(5^{2x} - 30 = 5^x + 125\)

Перепишем уравнение в более удобной форме:

\((5^x)^2 - 5^x - 155 = 0\)

Обозначим \(y = 5^x\):

\(y^2 - y - 155 = 0\)

Решим это квадратное уравнение:

\((y - 13)(y + 12) = 0\)

Отсюда получаем два возможных значения \(y\):

\(y - 13 = 0\), что дает \(y = 13\), или

\(y + 12 = 0\), что дает \(y = -12\).

Однако в контексте степеней числа не может быть отрицательных значений, поэтому выбираем \(y = 13\).

Теперь, зная, что \(y = 5^x\) и \(y = 13\), найдем \(x\):

\(5^x = 13\)

\(x = \log_5{13}\) (логарифм по основанию 5)

6. \(\left(\frac{2}{3}\right)^x * \left(\frac{9}{8}\right)^x = \frac{64}{27}\)

Преобразуем все основания в вид с одним числителем и знаменателем:

\(\left(\frac{2}{3} * \frac{9}{8}\right)^x = \frac{64}{27}\)

\(\left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{64}{27}\)

Преобразуем 64 и 27 к одной основе:

\(\left(\frac{4}{3}\right)^3 = \frac{64}{27}\)

Теперь получаем:

\(\left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{4}{3}\right)^3\)

Это значит, что \(x = 3\).