Question

1) найдите наибольшее целое значение m, при котором неравенство x^2-(m-3)x-m+6>0 выполняется для всех x. 2)найдите наименьшее значение функции y=(x+1)^3*(x-2)^2 на отрезке [-2;1]

Answer 1

1) x^2-(m-3)x-m+6>0

D=(m-3)^2-4(-m+6)=m^2-2m-15

если дискриминант меньше нуля, то неравенство выполняется для всех икс

 m^2-2m-15<0

D=64, x1=5, x2=-3

(-3;5)

наибольшее целое значение m=4 

2) y=(x+1)^3*(x-2)^2

y'=(x+1)^2(5x^2-14x+8)

 (x+1)^2(5x^2-14x+8)=0

 

 х=-1, 5x^2-14x+8=0

D=36, x1=2, x2=0.8

в промежуток входит только значение х=0.8

f(-2)= (-2+1)^3*(-2-2)^2=-16

f(0.8)= (0.8+1)^3*(0.8-2)^2=8.39

f(1)=(1+1)^3*(1-2)^2=8

наименьшее значение y=8

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую задачу по отдельности.

1) Найдем наибольшее целое значение m, при котором неравенство \(x^2 - (m-3)x - m + 6 > 0\) выполняется для всех x.

Для того чтобы найти значения m, при которых неравенство выполняется для всех x, нужно, чтобы квадратное уравнение \(x^2 - (m-3)x - m + 6\) имело положительный дискриминант, и при этом коэффициент при \(x^2\) был отрицательным.

Дискриминант квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c\) равен \(D = b^2 - 4ac\).

В данном случае у нас \(a = 1\), \(b = -(m-3)\), и \(c = -(m-6)\). Подставим значения:

\[D = (m-3)^2 - 4(1)(-(m-6))\]

Раскроем скобки:

\[D = m^2 - 6m + 9 + 4m - 24\]

Упростим:

\[D = m^2 - 2m - 15\]

Теперь, чтобы неравенство \(x^2 - (m-3)x - m + 6 > 0\) выполнялось для всех x, нужно, чтобы D был положительным. Также, чтобы коэффициент при \(x^2\) был отрицательным, \(m^2 - 2m - 15 < 0\).

Решим неравенство \(m^2 - 2m - 15 < 0\). Для этого найдем корни уравнения \(m^2 - 2m - 15 = 0\). Факторизуем:

\[(m - 5)(m + 3) = 0\]

Таким образом, у нас два корня: \(m = 5\) и \(m = -3\). Нам нужно, чтобы неравенство было выполнено, и D было положительным. Подставим значения:

1. При \(m = 5\): \(D = 5^2 - 2 \cdot 5 - 15 = 25 - 10 - 15 = 0\). Это не подходит, так как D должен быть положительным.

2. При \(m = -3\): \(D = (-3)^2 - 2 \cdot (-3) - 15 = 9 + 6 - 15 = 0\). Это не подходит.

Таким образом, неравенство \(x^2 - (m-3)x - m + 6 > 0\) не выполняется для всех x при целочисленных значениях m.

2) Найдем наименьшее значение функции \(y = (x + 1)^3 \cdot (x - 2)^2\) на отрезке \([-2;1]\).

На отрезке \([-2;1]\) нам нужно проверить значения функции в конечных точках (то есть при \(x = -2\) и \(x = 1\)), а также в критических точках, которые можно найти, взяв производную функции и приравняв ее к нулю.

1. При \(x = -2\): \(y = (-1)^3 \cdot (-4)^2 = 16\) 2. При \(x = 1\): \(y = (2)^3 \cdot (-1)^2 = 8\)

Теперь найдем критические точки. Возьмем производную функции и приравняем ее к нулю:

\[y' = 3(x + 1)^2 \cdot (x - 2)^2 + 2(x + 1)^3 \cdot 2(x - 2) = 0\]

Сократим общий множитель \((x + 1)^2\):

\[3(x - 2)^2 + 4(x + 1)(x - 2) = 0\]

Раскроем скобки:

\[3(x^2 - 4x + 4) + 4(x^2 - x - 2) = 0\]

Упростим:

\[3x^2 - 12x + 12 + 4x^2 - 4x - 8 = 0\]

\[7x^2 - 16x + 4 = 0\]

Теперь решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-16)^2 - 4(7)(4) = 256 - 112 = 144\), а корни уравнения:

\[x_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{144}}{14}\]

\[x_{1,2} = \frac{16 \pm 12}{14}\]

Таким образом, \(x_1 = \frac{4}{7}\) и \(x_2 = 2\).

Теперь найдем значения функции в найденных точках:

3. При \(x = \frac{4}{7}\): \(y = \left(\frac{4}{7} + 1\right)^3 \cdot \left(\frac{4}{7} - 2\right)^2\) 4. При \(x = 2\): \(y = (2 + 1)^3 \cdot (2 - 2)^2\)

Сравним все найденные значения: \(y_1, y_2, y_3, y_4\), где \(y_3\) и \(y_4\) - значения в критических точках. Найдем наименьшее из них.

Таким образом, мы найдем наименьшее значение функции \(y = (x + 1)^3 \cdot (x - 2)^2\) на отрезке \([-2;1]\).